[论文解读] Inducibility of d-ary trees

Éva Czabarka, Audace A. V. Dossou-Olory+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Graph theory and applications参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文引入并研究了 $d$-叉树——根节点出度有界的树，其中 $d \geq 2$——重点关注叶节点诱导子树的渐近最大密度。研究证明，对于任意 $d$，二叉长行树（binary caterpillars）在 $d$-叉树中达到最大诱导性 1，且对于严格 $d$-叉树（即每个非叶节点恰好有 $d$ 个子节点），最大密度与诱导性之间的差值以 $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$ 的速率衰减，优于一般情况下的 $\mathcal{O}(|T|^{-1})$ 界。二叉树在 $d$-叉树中的诱导性与 $d$ 无关，并推导出诱导性的通用下界。

ABSTRACT

Imitating a recently introduced invariant of trees, we initiate the study of the inducibility of $d$-ary trees (rooted trees whose vertex outdegrees are bounded from above by $d\geq 2$) with a given number of leaves. We determine the exact inducibility for stars and binary caterpillars. For $T$ in the family of strictly $d$-ary trees (every vertex has $0$ or $d$ children), we prove that the difference between the maximum density of a $d$-ary tree $D$ in $T$ and the inducibility of $D$ is of order $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$ compared to the general case where it is shown that the difference is $\mathcal{O}(|T|^{-1})$ which, in particular, responds positively to an existing conjecture on the inducibility in binary trees. We also discover that the inducibility of a binary tree in $d$-ary trees is independent of $d$. Furthermore, we establish a general lower bound on the inducibility and also provide a bound for some special trees. Moreover, we find that the maximum inducibility is attained for binary caterpillars for every $d$.

研究动机与目标

• 将诱导性的概念从二叉树扩展到 $d$-叉树，其中每个非叶节点的子节点数在 2 到 $d$ 之间。
• 确定如星形树和二叉长行树等基本 $d$-叉树结构的精确诱导性。
• 分析在更大的 $d$-叉树 $T$ 中，固定 $d$-叉树 $D$ 的最大密度的渐近行为，并量化其收敛到诱导性的速率。
• 通过证明在严格 $d$-叉树情况下，最大密度与诱导性之间的差值为 $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$，解决先前关于二叉树研究中的一个猜想。
• 探究树在 $d$-叉树中的诱导性是否依赖于 $d$，特别是对于非二叉树的情况。

提出的方法

• 将 $d$-叉树 $D$ 的诱导性 $i_d(D)$ 定义为在更大的 $d$-叉树 $T$ 中，叶节点诱导子树中 $D$ 的最大密度的上极限。
• 通过取叶节点子集的最小生成树并移除度数为 2 的节点（根节点除外），引入叶节点诱导子树的概念。
• 利用组合界和渐近分析，基于 $\mathcal{F}(S_1; S_2)$ 的结构（即通过将 $|S_1|$ 个 $S_2$ 的副本连接到根节点形成的树）推导出诱导性的通用下界。
• 应用极值组合学和归纳法，证明任何包含超过 $d^{k-2}$ 个叶节点的 $d$-叉树必定包含一个 $k$-叶二叉长行树 $F^2_k$，从而获得一个关键的结构结果。
• 采用类似旗代数的推理和极限分析，推导出严格 $d$-叉树中 $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$ 的收敛速率。
• 通过递归构造和密度比较，证明二叉树 $D$ 在 $d$-叉树中的诱导性与 $d$ 无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $d \geq 2$，星形树和二叉长行树在 $d$-叉树中的精确诱导性是什么？
• RQ2 当 $|T| \to \infty$ 时，$d$-叉树 $D$ 在更大的 $d$-叉树 $T$ 中的最大密度与诱导性之间的差值如何衰减？
• RQ3 二叉树在 $d$-叉树中的诱导性是否与 $d$ 无关，如先前研究中的猜想所示？
• RQ4 哪些 $d$-叉树实现了最大诱导性 1，除了二叉长行树外是否还有其他树？
• RQ5 非二叉 $d$-叉树的诱导性是否依赖于 $d$，还是在所有 $d \geq 2$ 下保持不变？

主要发现

• 对于所有 $d \geq 2$ 和所有 $k \geq 2$，$k$-叶二叉长行树 $F^2_k$ 在 $d$-叉树中的诱导性恰好为 1，使其成为唯一具有最大诱导性的 $d$-叉树。
• 对于严格 $d$-叉树（即每个非叶节点恰好有 $d$ 个子节点），$d$-叉树 $D$ 在 $T$ 中的最大密度与诱导性之间的差值为 $\mathcal{O}(|T|^{-1/2})$，优于一般情况下的 $\mathcal{O}(|T|^{-1})$ 界。
• 二叉树 $D$ 在 $d$-叉树中的诱导性与 $d$ 无关，即对所有 $d \geq 2$，有 $i_d(D) = i_{d+1}(D) = \cdots$，证实了早期研究中的一个猜想。
• 通过递归树构造和诱导子树计数的渐近分析，为 $d$-叉树建立了诱导性的通用下界。
• 在所有 $d$-叉树中，最大诱导性仅由二叉长行树实现，其他任何 $d$-叉树均无法达到诱导性 1。
• 本文提供了证据表明，对于非二叉 $d$-叉树，诱导性可能依赖于 $d$，支持了只有二叉树才具有 $d$-无关诱导性的猜想。