[论文解读] Infinite dimensional Chevalley groups and Kac-Moody groups over $\mathbb{Z}$

Lisa Carbone, Dongwen Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文从 Kac-Moody 代数的 $\mathbb{Z}$-形式及 $\mathbb{Z}$ 上的可积最高权模出发，构造了无穷维的 Chevalley 型群 $G_V(\mathbb{Z})$，将算术子群推广至非仿射、可对称化的 Kac-Moody 群。本文建立了完成群 $\widetilde{G}(\mathbb{Q})$ 的 Bruhat 分解，并证明了算术子群 $\widetilde{\Gamma}(\mathbb{Z})$ 等于整数点群 $\widetilde{G}(\mathbb{Z})$。

ABSTRACT

Let $A$ be a symmetrizable generalized Cartan matrix, which is not of finite or affine type. Let $\mathfrak{g}$ be the corresponding Kac-Moody algebra over a commutative ring $R$ with $1$. We construct an infinite-dimensional group $G_V(R)$ analogous to a finite-dimensional Chevalley group over $R$. We use a $\mathbb{Z}$-form of the universal enveloping algebra of $\mathfrak{g}$ and a $\mathbb{Z}$-form of an integrable highest-weight module $V$. We construct groups $G_V(\mathbb{Z})$ analogous to arithmetic subgroups in the finite-dimensional case. We also consider a universal representation-theoretic Kac-Moody group $G$ and its completion $\widetilde{G}$. For the completion we prove a Bruhat decomposition $\widetilde{G}({\mathbb{Q}})=\widetilde{G}({\mathbb{Z}})\widetilde{B}({\mathbb{Q}})$ over $\mathbb{Q}$, and that the arithmetic subgroup $\widetildeΓ(\mathbb{Z})$ coincides with the subgroup of integral points $\widetilde{G}(\mathbb{Z})$

研究动机与目标

• 为非有限、非仿射的 Kac-Moody 代数构造 $\mathbb{Z}$ 上的无穷维 Chevalley 群类比。
• 利用 universal enveloping 代数的 $\mathbb{Z}$-形式及可积最高权模来定义算术子群 $G_V(\mathbb{Z})$。
• 引入一个通用的表示论型 Kac-Moody 群 $G$ 及其完成群 $\widetilde{G}$，以研究其算术结构。
• 在 $\widetilde{G}(\mathbb{Q})$ 上建立以 $\widetilde{G}(\mathbb{Z})$ 和 $\widetilde{B}(\mathbb{Q})$ 表示的 Bruhat 分解。
• 证明算术子群 $\widetilde{\Gamma}(\mathbb{Z})$ 与整数点群 $\widetilde{G}(\mathbb{Z})$ 完全重合。

提出的方法

• 使用非有限型或非仿射型的可对称化广义 Cartan 矩阵 $A$ 来定义在含单位元的交换环 $R$ 上的 Kac-Moody 代数 $\mathfrak{g}$。
• 构造 $\mathfrak{g}$ 的 universal enveloping 代数的 $\mathbb{Z}$-形式，以定义整数结构。
• 利用可积最高权模 $V$ 的 $\mathbb{Z}$-形式，将群 $G_V(R)$ 定义为有限维 Chevalley 群的推广。
• 定义通用 Kac-Moody 群 $G$ 及其完成群 $\widetilde{G}$，以实现在 $\mathbb{Q}$ 上的拓扑与算术分析。
• 应用表示论技巧，建立 Bruhat 分解 $\widetilde{G}(\mathbb{Q}) = \widetilde{G}(\mathbb{Z})\widetilde{B}(\mathbb{Q})$。
• 利用完成群 $\widetilde{G}$ 的结构，证明 $\widetilde{\Gamma}(\mathbb{Z}) = \widetilde{G}(\mathbb{Z})$，将算术子群识别为整数点群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为非有限、非仿射的 Kac-Moody 代数构造 $\mathbb{Z}$ 上的无穷维 Chevalley 群类比？
• RQ2 universal enveloping 代数的 $\mathbb{Z}$-形式及可积最高权模在定义算术子群中起什么作用？
• RQ3 完成群 $\widetilde{G}(\mathbb{Q})$ 的 Bruhat 分解是否成立？
• RQ4 算术子群 $\widetilde{\Gamma}(\mathbb{Z})$ 是否等于完成群中的整数点群 $\widetilde{G}(\mathbb{Z})$？
• RQ5 表示论构造如何将算术群理论推广至无穷维 Kac-Moody 群？

主要发现

• 本文利用 universal enveloping 代数的 $\mathbb{Z}$-形式及 $\mathbb{Z}$ 上的可积最高权模，构造了无穷维的 Chevalley 型群 $G_V(\mathbb{Z})$。
• 定义了一个通用的表示论型 Kac-Moody 群 $G$ 及其完成群 $\widetilde{G}$，以促进算术与拓扑分析。
• 完成群 $\widetilde{G}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上允许 Bruhat 分解：$\widetilde{G}(\mathbb{Q}) = \widetilde{G}(\mathbb{Z})\widetilde{B}(\mathbb{Q})$。
• 证明了算术子群 $\widetilde{\Gamma}(\mathbb{Z})$ 与整数点群 $\widetilde{G}(\mathbb{Z})$ 完全重合。
• 该构造将经典算术子群的概念推广至非仿射 Kac-Moody 群的无穷维情形。