[论文解读] Infinite-dimensional transfer operators, endomorphisms, and measurable partitions

Sergey Bezuglyi, Palle E. T. Jørgensen|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 70被引用 3

一句话总结

本文建立了标准博雷尔测度空间上自同态与正转移算子之间的对偶性，将佩龙-弗罗贝尼乌斯定理由有限维推广至无限维情形。文章引入了一个通用的希尔伯特空间框架，通过转移算子刻画调和函数、不变测度与条件期望，并在非奇异自同态的径向尼科迪姆导数与遍历分解方面取得关键成果。

ABSTRACT

We develop a new duality between endomorphisms of measure spaces, on the one hand, and a certain family of positive operators, called transfer operators, acting in spaces of measurable functions on, on the other. A framework of standard Borel spaces is adopted; and this generality is wide enough to cover a host of applications. While the mathematical structures of positive operators, endomorphisms, transfer operators, measurable partitions, and Markov processes arise in a host of settings, both pure and applied, we propose here a unified study. This is the general setting of dynamics in Borel measure spaces. Hence the corresponding linear structures are infinite-dimensional. Nonetheless, we prove a number of analogues of the more familiar finite-dimensional settings, for example, the Perron-Frobenius theorem for positive matrices, and the corresponding Markov chains. Tools from the theory of operators in Hilbert space of special significance to us will be the use of a certain universal Hilbert space, as well as classes of operators in it, directly related to the central theme of duality for transfer operators. From ergodic theory, we address such questions as measurable cross sections, partitions, and Rohlin analysis of endomorphisms of measure spaces. While there are classical theorems dealing with analogous questions for automorphisms of measure spaces, a systematic study of endomorphisms is of more recent vintage;-- in its infancy. In order to make the exposition accessible to students and to researchers in neighboring areas, we have included a number of explicit examples and applications.

研究动机与目标

• 为无限维测度空间中的转移算子与自同态建立统一框架。
• 将正矩阵的佩龙-弗罗贝尼乌斯定理推广至无限维情形，尤其适用于马尔可夫链与随机过程。
• 利用转移算子与可测划分刻画调和函数与不变测度。
• 通过径向尼科迪姆导数与条件测度，建立自同态 σ 与转移算子 R 之间的对偶性。
• 将理论应用于动力系统，包括分段单调映射、高斯映射与迭代函数系。

提出的方法

• 使用标准博雷尔空间与测度空间定义自同态 σ 与作用于可测函数上的转移算子 R。
• 通过条件测度 μ_C 定义转移算子 R，其中 R(f)(x) = ∫_{C_x} f(y) dμ_{C_x}(y)。
• 应用通用希尔伯特空间 H(X) 表示转移算子并研究其谱性质。
• 利用遍历分解与伍尔德定理分析自同态的等距与自同构分量。
• 通过雅可比行列式 Jσ(x) = ∑_{y∈σ⁻¹(x)} 1/J(y) 定义 Rσ(h)(x) = ∑_{y∈σ⁻¹(x)} h(y)/Jσ(y)，将非奇异性与转移算子结构联系起来。
• 应用罗欣的可测划分与截面理论，构造不变测度并分析自同态的动力学行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过转移算子将佩龙-弗罗贝尼乌斯定理由有限维推广至无限维情形？
• RQ2 在标准博雷尔测度空间中，自同态 σ 与转移算子 R 之间的精确对偶性是什么？
• RQ3 转移算子的调和函数如何与可测划分及 σ-不变集相关联？
• RQ4 径向尼科迪姆导数 ωσ 在刻画非奇异自同态下不变测度时起到什么作用？
• RQ5 L¹ 与 L² 空间上的转移算子如何反映自同态的遍历性与谱性质？

主要发现

• 可测函数 h 关于 R 是调和函数，当且仅当它在 σ-不变可测划分 ξ 的原子上为常数。
• 测度 μR 关于 μ 的径向尼科迪姆导数为 W = ν_C(C)，其中 ν_C 是划分元素 C 上的条件测度。
• 对于有界至一的非奇异自同态 σ，转移算子 Rσ 定义为 Rσ(h)(x) = ∑_{y∈σ⁻¹(x)} h(y)/Jσ(y)，其中 Jσ 为雅可比行列式。
• 算子 R 满足 R(fg) = fR(g)，其中 f 在基空间中可测，g 在乘积空间中可测，表明其与动力系统具有乘法相容性。
• 通用希尔伯特空间 H(X) 支持转移算子的表示，并可通过等距分解实现对自同态谱分析。
• 转移算子的遍历分解对应于其底层自同态分解为自同构部分与完全非奇异部分。