[论文解读] Infinite families of 2-designs and 3-designs from linear codes

Cunsheng Ding, Chengju Li|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文利用 Assmus-Mattson 定理以及几乎完美非线性函数和平面函数的性质，从线性码（特别是二元和三元循环码）出发，构造了无限组 2-设计和 3-设计。主要贡献在于对这些设计进行了显式参数化，包括基于射影三元循环码的猜想无限族。

ABSTRACT

The interplay between coding theory and $t$-designs started many years ago. While every $t$-design yields a linear code over every finite field, the largest $t$ for which an infinite family of $t$-designs is derived directly from a linear or nonlinear code is $t=3$. Sporadic $4$-designs and $5$-designs were derived from some linear codes of certain parameters. The major objective of this paper is to construct many infinite families of $2$-designs and $3$-designs from linear codes. The parameters of some known $t$-designs are also derived. In addition, many conjectured infinite families of $2$-designs are also presented.

研究动机与目标

• 直接从线性码构造无限组 2-设计和 3-设计，扩展已知构造方法。
• 利用线性码（特别是二元和三元码）确定已知 t-设计的精确参数。
• 提出并研究基于射影三元循环码的猜想无限组 2-设计。
• 探索编码理论与组合设计理论之间的相互作用，尤其关注 t ≥ 2 的 t-设计。
• 开发超越 Assmus-Mattson 定理的新方法，以在该定理不适用的情况下证明 t-设计的存在性。

提出的方法

• 将 Assmus-Mattson 定理应用于线性码及其对偶码，通过特定权重的码字推导出 t-设计。
• 利用二元和三元循环码的权重分布，特别是由几乎完美非线性（APN）函数和平面函数定义的码。
• 采用经典构造方法：固定权重码字的支集构成 t-设计的区块。
• 分析射影三元循环码的权重分布，推导出具有特定参数的猜想 2-设计。
• 利用差族性质及设计上的群作用，将 t-设计与代数结构联系起来。
• 将已知关于汉明码和 Reed-Muller 码的结果扩展，以推导出新的无限组 2-设计和 3-设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地从线性码构造出超越已知情况的无限组 2-设计和 3-设计？
• RQ2 从二元和三元循环码导出的 2-设计和 3-设计的精确参数是什么？
• RQ3 基于射影三元循环码的猜想无限组 2-设计是否对所有奇数 m ≥ 3 均成立？
• RQ4 从线性码导出的 t-设计参数与已知组合设计（如斯坦纳系统）相比如何？
• RQ5 当 Assmus-Mattson 定理不适用时，需要哪些新方法来证明 t-设计的存在性？

主要发现

• 本文从由 APN 函数定义的二元循环码构造了无限组 2-设计和 3-设计，并为每组显式推导出参数。
• 对于二元汉明码，本文将已知的 2-设计（参数为 2-((q^m−1)/(q−1), 3, q−1)）推广至新无限族，通过例 2–5 实现。
• 定理 15 表明，特定二元循环码的对偶码产生一个参数为 3-(2^m−1, 2^{m−1}, 2^{m−2}) 的 3-设计，其中 m ≥ 3。
• 定理 17 及其推论提出了由与平面函数相关的码生成的无限组 2-设计，其参数取决于维度 m。
• 猜想 21 提出，射影三元循环码对偶码中权重为 k 的码字支集构成一个 2-设计，对所有奇数 m ≥ 3 成立，其中 λ 值依 m 而定。
• 本文表明，本研究中构造的 3-设计总数在 m 上呈指数增长，且全部源自线性码，表明编码理论与 t-设计之间存在紧密联系。