[论文解读] Narrow-Sense BCH Codes over $\gf(q)$ with Length $n=\frac{q^m-1}{q-1}$

Shuxing Li, Cunsheng Ding+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 10

一句话总结

本文研究了长度为 $ n = \frac{q^m - 1}{q - 1} $ 的 $ \mathrm{GF}(q) $ 上的窄义 BCH 码，重点关注长度为 $ n = \frac{3^m - 1}{2} $ 的三元码（$ q=3 $）。它确定了特定码的维度、最小距离和重量分布，识别出一类满足 Griesmer 界的三元 BCH 码，并展示了其在具有有趣访问结构的秘密共享方案中的应用。

ABSTRACT

Cyclic codes over finite fields are widely employed in communication systems, storage devices and consumer electronics, as they have efficient encoding and decoding algorithms. BCH codes, as a special subclass of cyclic codes, are in most cases among the best cyclic codes. A subclass of good BCH codes are the narrow-sense BCH codes over $\gf(q)$ with length $n=(q^m-1)/(q-1)$. Little is known about this class of BCH codes when $q>2$. The objective of this paper is to study some of the codes within this class. In particular, the dimension, the minimum distance, and the weight distribution of some ternary BCH codes with length $n=(3^m-1)/2$ are determined in this paper. A class of ternary BCH codes meeting the Griesmer bound is identified. An application of some of the BCH codes in secret sharing is also investigated.

研究动机与目标

• 确定 $ \mathrm{GF}(q) $ 上长度为 $ n = \frac{q^m - 1}{q - 1} $ 的窄义 BCH 码的维度、最小距离和重量分布，特别是针对 $ q=3 $ 的情况。
• 识别一类满足 Griesmer 界的三元 BCH 码，表明其在给定长度和维度下具有最小距离的最优性。
• 探索这些码在秘密共享方案中的应用，利用其重量分布实现有趣的访问结构。
• 启动对这一类 BCH 码的系统性研究，该类码在 $ q > 2 $ 时仍基本未被探索，并为未来研究提出开放问题。

提出的方法

• 利用 $ \mathrm{GF}(q) $ 上的分圆陪集和最小多项式，确定窄义 BCH 码的生成多项式。
• 应用 BCH 界，基于设计距离 $ \delta $ 建立最小距离的下界。
• 利用有限域上的二次型和迹函数分析码的重量分布。
• 通过分圆陪集基数的递归计算确定具有递增设计距离的码的维度。
• 应用 [1, 7, 28, 30] 中的框架，从满足 $ w_{\text{min}}/w_{\text{max}} > (q-1)/q $ 的线性码构造秘密共享方案。
• 使用计算工具（如 Magma）分析实例，并支持对 $ q > 3 $ 时码参数的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于长度为 $ n = \frac{3^m - 1}{2} $ 的 $ \mathrm{GF}(3) $ 上的窄义 BCH 码，其维度、最小距离和重量分布是什么？
• RQ2 这些三元 BCH 码中哪些满足 Griesmer 界，表明其最优性？
• RQ3 这些码能否用于构造具有非平凡访问结构的秘密共享方案？
• RQ4 当 $ \lceil m/2 \rceil < i \leq m-1 $ 时，码 $ \mathcal{C}_{(n,q,m,(q^i-1)/(q-1))} $ 的结构是什么？
• RQ5 对于 $ q > 3 $，最大的和第二大的陪集领袖是什么？对应的码的参数是什么？

主要发现

• 对于 $ i \geq 3 $，窄义 BCH 码 $ \mathcal{C}_{(n,3,m,\delta_i)} $ 的维度可通过分圆陪集 $ C_{\delta_i} $ 的基数递归计算，前提是已知 $ \mathcal{C}_{(n,3,m,\delta_2)} $ 的维度。
• 识别出一类满足 Griesmer 界的三元 BCH 码，确认其在给定长度和维度下具有最小距离的最优性。
• 定理 16、17 和 21 中的码满足 $ w_{\text{min}}/w_{\text{max}} > 2/3 $（当 $ m \geq 5 $ 时），从而可构造具有有趣访问结构的秘密共享方案。
• 某些三元 BCH 码的重量分布已被完全确定，特别是对应于陪集领袖的设计距离 $ \delta_i $ 的码。
• 对于 $ q=3 $，当 $ i \leq \lceil m/4 \rceil $ 时，$ \mathcal{C}_{(n,3,m,\delta_i)} $ 和 $ \tilde{\mathcal{C}}_{(n,3,m,\delta_i)} $ 的参数已确定，其维度基于 $ |C_{\delta_i}| $ 递归计算。
• 码 $ \mathcal{C}_{(n,q,m,(q^{m-1}-1)/(q-1))} $ 的维度下界为 $ \binom{p+m-2}{m-1}^s + 1 $，其中 $ q = p^s $，且实例表明其远大于该下界。