[论文解读] Infinite horizon backward stochastic Volterra integral equations and discounted control problems

Yushi Hamaguchi|arXiv (Cornell University)|May 6, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 49被引用 15

一句话总结

该论文在加权L²空间中建立了无限时域倒向随机伏尔泰拉积分方程（BSVIEs）的适应M-解的存在性与唯一性，将有限时域的对偶性与常数变易公式结果推广至无限时域。该理论被应用于具有折扣成本泛函的无限时域随机控制问题，通过将伴随方程表述为无限时域BSVIE，利用庞特里亚金最大值原理推导出必要与充分最优性条件。

ABSTRACT

Infinite horizon backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs for short) are investigated. We prove the existence and uniqueness of the adapted M-solution in a weighted $L^2$-space. Furthermore, we extend some important known results for finite horizon BSVIEs to the infinite horizon setting. We provide a variation of constant formula for a class of infinite horizon linear BSVIEs and prove a duality principle between a linear (forward) stochastic Volterra integral equation (SVIE for short) and an infinite horizon linear BSVIE in a weighted $L^2$-space. As an application, we investigate infinite horizon stochastic control problems for SVIEs with discounted cost functional. We establish both necessary and sufficient conditions for optimality by means of Pontryagin's maximum principle, where the adjoint equation is described as an infinite horizon BSVIE. These results are applied to discounted control problems for fractional stochastic differential equations and stochastic integro-differential equations.

研究动机与目标

• 将倒向随机伏尔泰拉积分方程（BSVIEs）的理论从有限时域推广至无限时域。
• 在加权L²空间中证明无限时域I型与II型BSVIE的适应M-解的存在性与唯一性。
• 将对偶性原理与常数变易公式推广至具有无界系数的无限时域设定。
• 将无限时域BSVIE框架应用于具有折扣成本泛函的随机控制问题。
• 通过庞特里亚金最大值原理，利用BSVIE形式的伴随方程，推导出前向SVIE无限时域随机控制的必要与充分最优性条件。

提出的方法

• 引入一种具有自由项和依赖于Z(s,t)的驱动项的II型形式无限时域折扣BSVIE，引入折现率λ。
• 通过Z(t,s)在0 ≤ s ≤ t ≤ ∞上的鞅表示定理，定义适应M-解的概念。
• 通过分析权重η与折现率λ之间的权衡，证明在加权L²空间中适应M-解的存在性与唯一性。
• 在加权L²空间中，建立线性前向SVIE与无限时域线性II型BSVIE之间的对偶性原理。
• 推导出无限时域线性I型BSVIE的常数变易公式，将有限时域结果推广至无界系数情形。
• 通过将伴随方程表述为无限时域BSVIE，并利用庞特里亚金原理推导最优性条件，将该框架应用于无限时域随机控制问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，折现率λ与权重η的组合可使无限时域BSVIE在加权L²空间中存在唯一的适应M-解？
• RQ2 如何将前向SVIE与无限时域BSVIE之间的对偶性原理从有限时域推广至无限时域，且适用于无界系数？
• RQ3 线性I型BSVIE的无限时域常数变易公式是什么？它如何推广有限时域结果？
• RQ4 当状态过程为前向SVIE时，如何将庞特里亚金最大值原理应用于具有折扣成本泛函的无限时域随机控制问题？
• RQ5 具有奇异系数的SVIE无限时域随机控制的必要与充分最优性条件是什么？它们如何通过BSVIE伴随方程表达？

主要发现

• 该论文证明了在加权L²空间中，无限时域BSVIE的适应M-解的存在性与唯一性，其适定性条件取决于折现率λ与解空间权重η之间的相互作用。
• 推导出无限时域线性I型BSVIE的常数变易公式，将胡与奥克森达尔（2010）及王、雍与张（2016）的结果推广至无界系数情形。
• 在加权L²空间中，证明了线性前向SVIE与无限时域线性II型BSVIE之间的对偶性原理，将容永（2006）的结果推广至无限时域情形。
• 对于具有折扣成本泛函的无限时域随机控制问题，论文通过庞特里亚金最大值原理推导出必要与充分最优性条件，其中伴随方程以无限时域BSVIE形式给出。
• 最优性条件以涉及伴随过程与控制的变分不等式形式表达，其中伴随过程满足一种无限时域的预期Itô–Volterra型倒向随机微分方程。
• 该框架被应用于分数阶SDE与随机积分微分方程，表明无限时域BSVIE方法能够处理具有记忆效应与奇异系数的模型。