[论文解读] Infinite matroids in graphs

Henning Bruhn, Reinhard Diestel|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文提出了一套新的无限拟阵公理体系，通过允许无限圈和余圈，恢复了此前在有限性公理下无法实现的对偶性。该框架被应用于无限图，证明了局部有限图的圈拟阵具有一个对偶，其圈为拓扑圈（代数圈），并建立了通过域上的稀疏和（thin sums）实现可表示性的充分条件。

ABSTRACT

It has recently been shown that infinite matroids can be axiomatized in a way that is very similar to finite matroids and permits duality. This was previously thought impossible, since finitary infinite matroids must have non-finitary duals. In this paper we illustrate the new theory by exhibiting its implications for the cycle and bond matroids of infinite graphs. We also describe their algebraic cycle matroids, those whose circuits are the finite cycles and double rays, and determine their duals. Finally, we give a sufficient condition for a matroid to be representable in a sense adapted to infinite matroids. Which graphic matroids are representable in this sense remains an open question.

研究动机与目标

• 为解决长期以来无限拟阵对偶性问题，该问题此前被有限性公理（I4）所阻碍。
• 通过重新定义拟阵公理以允许非有限性圈和余圈，将有限拟阵的对偶性推广至无限情形。
• 利用新的无限拟阵框架，表征无限图的圈拟阵与束拟阵。
• 确定无限图中代数圈拟阵（圈 = 有限圈与双向无限路径）的对偶。
• 提出一种基于无限和（稀疏和）的无限拟阵可表示性新概念，并确定其生成有效拟阵的充分条件。

提出的方法

• 采用一组修订后的拟阵公理，其在保持对偶性的同时推广了有限拟阵公理，允许无限圈和余圈。
• 将图的代数圈拟阵定义为：其圈是有限圈与双向无限路径（双射线）的边集。
• 利用弗鲁伊登塔尔紧化（Freudenthal compactification）将局部有限图中的拓扑圈识别为对偶拟阵的圈。
• 引入域上“稀疏和拟阵”（thin-sums matroids）的概念，其中独立性通过在对偶空间中具有有限支集的无限线性组合来定义。
• 证明图的代数圈拟阵可在 𝔽₂ 上表示为稀疏和拟阵，并建立该广义表示意义下可表示性的充分条件。
• 应用超限归纳法与闭包论证，构造基并验证稀疏和表示中的闭包性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不牺牲有限性性质的前提下，能否在无限拟阵中恢复对偶性？若能，其公理体系应为何种形式？
• RQ2 当圈可为无限时，无限图的圈拟阵的对偶是什么？
• RQ3 哪些无限拟阵可通过域上的无限线性组合（稀疏和）实现可表示性？
• RQ4 在新公理体系下，无限图中的代数圈（有限圈与双射线）如何与拟阵的圈相关联？
• RQ5 通过稀疏和实现的新可表示性条件是否能涵盖已知拟阵（如代数圈拟阵），并可用于推广惠特尼的平面性判别定理？

主要发现

• 新公理允许无限拟阵拥有同样是无限拟阵的对偶，从而解决了拟阵理论中长期存在的难题。
• 对于局部有限的无限图，圈拟阵的对偶是其圈为弗鲁伊登塔尔紧化中拓扑圈的边集的拟阵。
• 图的代数圈拟阵（圈为有限圈与双射线）可在 𝔽₂ 上表示为稀疏和拟阵。
• 代数圈拟阵的对偶被表征为圈是图的束（即使这些束为无限）的拟阵。
• 给出了一个拟阵在稀疏和意义下可表示的充分条件，该条件包含图的代数圈拟阵及高维复形的拟阵。
• 惠特尼的平面性定理可推广至无限图：一个图是平面图当且仅当其圈拟阵在新框架下具有图的对偶。