[论文解读] Infinite symmetric group and bordisms of pseudomanifolds

Alexander A. Gaifullin, Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文建立了 $S(\infty)^{n+1}$ 的幺正表示与从 $(n-1)$-维彩色伪流形 cobordism 类别到希尔伯特空间的函子之间的对应关系。通过在 Fock 型希尔伯特空间上利用球函数构造了一个函子性表示，证明了相关的球函数可表示为伪流形上基组排列的组合公式，从而通过 cobordism 类别将无限群表示理论与几何拓扑联系起来。

ABSTRACT

We consider a category whose morphisms are bordisms of $n$-dimensional pseudomanifolds equipped with a certain additional structure (coloring). On the other hand, we consider the product $G$ of $(n+1)$ copies of infinite symmetric group. We show that unitary representations of $G$ produce functors from the category of $(n-1)$-dimensional bordisms to the category of Hilbert spaces and bounded linear operators.

研究动机与目标

• 建立 $G = S(\infty)^{n+1}$ 的幺正表示与 $n$-维彩色伪流形 cobordism 之间的函子对应关系。
• 定义一个带有编码腔符号和面着色结构的 $(n-1)$-维 cobordism 类别。
• 在由固定真空向量 $\xi$ 构造的张量积希尔伯特空间 $\mathfrak{V}$ 上，构造 $G$ 的幺正表示 $\mathfrak{V}$，并在此空间上定义一个球函数。
• 证明球函数 $\Phi(g) = \langle \nu(g)\mathfrak{v}, \mathfrak{v} \rangle$ 可表示为伪流形腔内基元素赋值的组合表达式。
• 证明从 cobordism 类别到希尔伯特空间的任意有界、对合相容函子均可由 $G$ 的此类幺正表示实现。

提出的方法

• 定义一个类别 $\mathcal{K}$，其对象为带有腔符号和使用 $n+1$ 种不同颜色的顶点/面着色的 $(n-1)$-维伪流形之间的 cobordism。
• 构造群 $\mathbb{G} = S(\infty)^{n+1}$，其中每个因子通过在 Fock 空间 $\mathfrak{V} = \bigotimes_{\mathbb{N}} (\mathcal{V}, \xi)$ 上置换张量因子来作用，其中 $\mathcal{V} = \bigotimes_{i=1}^{n+1} V_i$，且 $\xi \in \mathcal{V}$ 为固定单位向量。
• 通过让每个 $S(\infty)$ 的副本作用于对应因子 $V_i$，并让对角线 $\mathbb{K} = \overline{S(\infty)}$ 通过置换 $\mathfrak{V}$ 的张量因子，定义 $\mathbb{G}$ 在 $\mathfrak{V}$ 上的表示 $\nu$。
• 对每个双陪集 $\mathfrak{g} \in \mathbb{K}(\alpha) \setminus \mathbb{G} / \mathbb{K}(\beta)$，定义算子 $\overline{\rho}(\mathfrak{g}) = P_\alpha \rho(g)|_{H_\beta}$，其中 $H_\alpha$ 为 $\mathbb{K}(\alpha)$-不动点空间。
• 证明 $\overline{\rho}(\mathfrak{g})$ 不依赖于代表元 $g \in \mathfrak{g}$ 的选择，且算子的复合对应于双陪集的复合。
• 推导出球函数 $\Phi(g) = \langle \nu(g)\mathfrak{v}, \mathfrak{v} \rangle$ 的显式公式，该公式为对所有 $(n-1)$-面赋值正交基元素的求和，每个腔贡献结构常数 $x_{ijk\dots}$ 的乘积（正腔）及其共轭（负腔）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $S(\infty)^{n+1}$ 的幺正表示来构造从彩色伪流形 cobordism 类别到希尔伯特空间范畴的函子？
• RQ2 与该表示相关的球函数 $\Phi(g)$ 的几何解释是什么？
• RQ3 是否每个从 cobordism 类别到希尔伯特空间的有界、对合相容函子均可由 $S(\infty)^{n+1}$ 的幺正表示实现？
• RQ4 伪流形上的着色结构——为腔分配符号并为顶点和面分配颜色——如何编码群作用的表示论数据？
• RQ5 矩阵系数 $\langle \nu(g)\mathfrak{v}, \mathfrak{v} \rangle$ 的显式组合公式如何用伪流形上的基赋值表示？

主要发现

• 在 $\mathfrak{V}$ 上的表示 $\nu$ 的球函数 $\Phi(g)$ 由对伪流形 $\Sigma$ 的所有 $(n-1)$-面赋值正交基向量的求和给出，每个腔贡献结构常数 $x_{ijk\dots}$ 的乘积（正腔）及其共轭（负腔）。
• 通过双陪集 $\mathfrak{g} \in \mathbb{K}(\alpha) \setminus \mathbb{G} / \mathbb{K}(\beta)$ 定义的表示 $\overline{\rho}$ 是良定义的，且保持复合结构，从而形成从 cobordism 类别到希尔伯特空间的函子。
• 每个从 cobordism 类别到希尔伯特空间的有界、对合相容函子 $\pi$ 均等价于某个 $\mathbb{G} = S(\infty)^{n+1}$ 的幺正表示 $\rho$ 的 $\overline{\rho}$，从而建立了完全等价。
• 所构造的 $\mathbb{G}$ 的表示 $\nu$ 并非各个 $S(\infty)$ 因子表示的张量积，这是由于 $S(\infty)$ 不是类型 I 群，凸显了群结构与表示理论之间的非平凡相互作用。
• Fock 空间 $\mathfrak{V}$ 作为 $\mathcal{V} = \bigotimes_{i=1}^{n+1} V_i$ 的无限张量积构造，带有固定真空向量 $\xi$，且真空向量 $\mathfrak{v} = \xi \otimes \xi \otimes \cdots$ 在 $\mathbb{K}$ 的对角作用下不变。
• 只要着色和腔符号结构保持不变，$\Phi(g)$ 的公式对面上基赋值的选择具有不变性，确保了几何一致性。