[论文解读] Infinitely many Lagrangian fillings

Roger Casals, Honghao Gao|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用 12

一句话总结

该论文证明了，在标准接触3-球面中，除$(2,m)$、$(3,3)$、$(3,4)$和$(3,5)$外，所有最大tb值的正Legendrian环面纽结$(n,m)$在标准对称4-球中均存在无穷多个非哈密顿同痕的精确拉格朗日子填充。作者通过$ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$和映射类群$M_{0,4}$的忠实表示作用于框架层模空间的坐标环，构造了无穷阶的拉格朗日子平行关系，从而在拉格朗日子平行关系幺半群和具有无穷多个高亏格精确拉格朗日子曲面的Stein流形中建立了指数增长子群。

ABSTRACT

We prove that all maximal-tb Legendrian torus links (n,m) in the standard contact 3-sphere, except for (2,m),(3,3),(3,4) and (3,5), admit infinitely many Lagrangian fillings in the standard symplectic 4-ball. This is proven by constructing infinite order Lagrangian concordances which induce faithful actions of the modular group PSL(2,Z) and the mapping class group M(0,4) into the coordinate rings of algebraic varieties associated to Legendrian links. Our results imply that there exist Lagrangian concordance monoids with subgroups of exponential-growth, and yield Stein surfaces homotopic to a 2-sphere with infinitely many distinct exact Lagrangian surfaces of higher-genus. We also show that there exist infinitely many satellite and hyperbolic knots with Legendrian representatives admitting infinitely many exact Lagrangian fillings.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：是否存在任何Legendrian纽结在标准对称4-球中具有无穷多个非哈密顿同痕的精确拉格朗日子填充。
• 为最大tb值的正Legendrian环面纽结构造显式的无穷多组非哈密顿同痕的精确拉格朗日子填充。
• 证明拉格朗日子平行关系幺半群中存在指数增长子群。
• 通过从已知的无穷填充例子构造精确拉格朗日子 cobordism，将结果推广至卫星纽结和双曲纽结。
• 通过框架层的模空间建立簇代数结构与拉格朗日子填充数量之间的联系。

提出的方法

• 通过$ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$和$M_{0,4}$在框架构造层模空间$\mathcal{M}(\Lambda(n,m))$上的几何实现，构造无穷阶拉格朗日子平行关系。
• 利用微局部层理论，通过其在坐标环$\mathbb{C}[\mathcal{M}(\Lambda(n,m))]$上诱导的作用来区分拉格朗日子填充。
• 应用簇代数技术分析$\mathcal{M}(\Lambda(n,m))$的代数结构，该空间被实现为Grassmannian$\mathrm{Gr}(n,n+m)$的拟射子簇。
• 证明对于$\Lambda(3,6)$和$\Lambda(4,4)$，单值表示在$\mathbb{C}[\mathcal{M}(\Lambda(n,m))]$上是忠实的，从而蕴含存在无穷多个不同的填充。
• 从$\Lambda(3,6)$和$\Lambda(4,4)$构造精确拉格朗日子cobordism至某些卫星纽结和双曲纽结，从而转移无穷填充性质。
• 利用包裹的Fukaya范畴和Chekanov-Eliashberg DGA增强，将填充区分为其在范畴中为非同痕对象。

Figure 1. The Legendrian torus links $\Lambda(3,6)$ (left) and $\Lambda(4,4)$ (right).

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准接触3-球面中，是否存在任何Legendrian纽结在标准对称4-球中具有无穷多个非哈密顿同痕的精确拉格朗日子填充？
• RQ2 在框架层模空间上的单值作用是否能检测到无穷多个不同的精确拉格朗日子填充？
• RQ3 具有无穷填充的Legendrian纽结的拉格朗日子平行关系幺半群的代数结构是什么？其是否包含指数增长子群？
• RQ4 无穷填充性质能否从环面纽结推广至更一般的纽结类型，如卫星纽结和双曲纽结？
• RQ5 有限型簇代数中的簇种子数量与某些Legendrian纽结的精确拉格朗日子填充数量之间是否存在精确对应关系？

主要发现

• 除$(2,m)$、$(3,3)$、$(3,4)$和$(3,5)$外，所有最大tb值的正Legendrian环面纽结$(n,m)$在标准对称4-球中均存在无穷多个非哈密顿同痕的精确拉格朗日子填充。
• 该构造产生了一类无穷阶拉格朗日子平行关系，这是辛拓扑中首次发现此类平行关系的实例。
• $\Lambda(3,6)$的拉格朗日子平行关系幺半群中包含一个由框架层模空间上忠实的$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$作用所生成的指数增长子群。
• 存在与2-球面同伦的Stein 4-流形，其在同伦类中包含无穷多个两两非哈密顿同痕的高亏格精确拉格朗日子曲面。
• 无穷多个卫星纽结和双曲纽结，包括满足$1<r<p<q$和$18p<s$的扭曲环面纽结$T(p,q,r,s)$，均存在具有无穷多个精确拉格朗日子填充的Legendrian表示。
• 数字50、883和25080分别对应于类型$D_4$、$E_6$和$E_8$的有限型簇代数中的簇种子数量，且与$\Lambda(3,3)$、$\Lambda(3,4)$和$\Lambda(3,5)$的精确拉格朗日子填充数量完全匹配。

Figure 2. The diagrams on each of the left hand sides of the equalities are called $A_{2}$ -spiders in [ 47 , Section 4] . The diagrams on the right hand sides follow the notational convention of [ 31 ] , white vertices are sources and black vertices are sinks. The white tripod represents $\det(v_{i