[论文解读] Infinitesimal Theory of Chow Groups via K-theory, Cyclic Homology and the Relative Chern Character

Benjamin F. Dribus, J. William Hoffman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过非连通K-理论、负循环上同调及相对陈示性类，为代数几何中的无穷小 Chow 群理论建立了正式框架，解决了长期存在的问题。证明了在光滑簇的无穷小加厚上，Bloch-Gersten-Quillen 分辨的切序列精确对应于微分形式的上同调，将 Bloch 公式推广至更高余维数，并为 Green 与 Griffiths 的几何方法提供了严格基础。

ABSTRACT

We examine the tangent groups at the identity, and more generally the formal completions at the identity, of the Chow groups of algebraic cycles on a nonsingular quasiprojective algebraic variety over a field of characteristic zero. We settle a question recently raised by Mark Green and Phillip Griffiths concerning the existence of Bloch-Gersten-Quillen-type resolutions of algebraic K-theory sheaves on infinitesimal thickenings of nonsingular varieties, and the relationships between these sequences and their "tangent sequences," expressed in terms of absolute Kähler differentials. More generally, we place Green and Griffiths' concrete geometric approach to the infinitesimal theory of Chow groups in a natural and formally rigorous structural context, expressed in terms of nonconnective K-theory, negative cyclic homology, and the relative algebraic Chern character

研究动机与目标

• 为无穷小 Chow 群理论，特别是其在单位元处的切群，提供一个正式且严谨的结构背景。
• 解决 Green 与 Griffiths 提出的问题：即在光滑簇的无穷小加厚上，是否存在类似 Bloch-Gersten-Quillen 的分辨。
• 通过负循环上同调与相对陈示性类，建立 K-理论层的切序列与绝对 Kähler 微分形式上同调之间的精确关系。
• 利用非连通 K-理论与局部上同调，将 Bloch 对 $ TCH^2(X) $ 的公式推广至更高余维数。

提出的方法

• 作者采用 Bass-Thomason 的非连通 K-理论，对无穷小加厚 $ X[ε] = X \times_{\text{Spec}(k)} \text{Spec}(k[\varepsilon]/(\varepsilon^{j+1})) $ 上的代数 K-理论的无穷小结构进行建模。
• 他们利用 Weibel 的负循环上同调与相对代数陈示性类，将 K-理论与微分形式 $ \Omega^{\bullet}_{O_{X}/\mathbb{Q}} $ 联系起来。
• 一个关键技术工具是将局部上同调 $ \mathbb{H}^{-m}_{y}(HN(O_{X,y}[\varepsilon], \varepsilon)) $ 与微分形式的上同调 $ H^j_y(\Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $ 相关联的谱序列。
• 本文构建了一个交换图，其中包含分裂正合序列，连接 $ K^{(i)}_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) $、$ \Omega^{\bullet,(i)}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $ 及其上同调。
• 利用 $ \Omega^n_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $ 的深度条件，将非零上同调限制在 $ H^j_y $ 上，从而实现 $ H^j_y(\Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $ 与 $ HN_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) $ 的识别。
• 相对陈示性类被用于将 $ X[\varepsilon] $ 上的 K-理论群与微分形式联系起来，从而建立同构 $ K_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) \cong H^j_y(\Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑簇 $ X $ 的无穷小加厚 $ X_j $ 上，是否存在类似 Bloch-Gersten-Quillen 的分辨，使得第一张映射的核等于原分辨的切序列？
• RQ2 对于 $ p > 2 $，能否用微分形式的上同调来描述切群 $ TCH^p(X) $，从而推广 Bloch 公式？
• RQ3 相对代数陈示性类与负循环上同调如何相互作用，以在 $ X[\varepsilon] $ 上建模代数 K-理论的无穷小结构？
• RQ4 是否存在 $ X $ 上的局部上同调与微分形式上同调之间的典范同构？
• RQ5 能否通过非连通 K-理论与相对陈示性类来描述 Chow 群在单位元处的形式完成？

主要发现

• 本文确立了 $ K_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) \cong H^j_y(\Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $，其中 $ \Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} = \Omega^{m+j-1}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} \oplus \Omega^{m+j-3}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} \oplus \cdots $，从而为 $ y \in X^{(j)} $ 处的切 K-理论提供了上同调描述。
• 对每个 $ i $，有 $ K^{(i)}_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) \cong H^j_y(\Omega^{\bullet,(i)}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $，其中 $ \Omega^{\bullet,(i)}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $ 仅在 $ \frac{m+j}{2} < i \leq m+j $ 时非零，且在该范围内包含 $ \Omega^{2i - (m+j) - 1}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $。
• 相对陈示性类诱导出一个交换图，其中包含连接 $ K^{(i)}_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) $、$ \Omega^{\bullet,(i)}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $ 及其上同调的分裂正合序列，且陈示性类映射 $ K^{(i)}_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) \to \Omega^{\bullet,(i)}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $。
• Bloch-Gersten-Quillen 分辨 $ \mathcal{G}_0 $ 的切序列 $ \underline{\underline{T}}\mathcal{G}_0 $ 被识别为 $ \Omega^1_{X/\mathbb{Z}} $ 的 Cousin 分辨，从而证实了 Green 与 Griffiths 的几何直觉。
• 该构造证实了在 $ X_1 $ 上，$ \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0 $ 的核同构于 $ \underline{\underline{T}}\mathcal{G}_0 $，从而为 Green 与 Griffiths 的问题给出了肯定回答。
• 该框架自然地将 Bloch 公式 $ TCH^2(X) \cong H^2(X, \Omega^1_{X/\mathbb{Z}}) $ 推广至更高余维数，通过 $ K_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) \cong H^j_y(\Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $ 实现。