[论文解读] Infinity Algebras, Cohomology and Cyclic Cohomology, and Infinitesimal Deformations

Michael Penkava|ArXiv.org|Nov 7, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 10

一句话总结

本文通过在张量余代数和外代数余代数上使用余微分，为 $A_{u}$ 和 $L_{u}$ 代数建立了一个统一框架，将霍赫希尔德上同调与李上同调推广至分类无穷小形变的范畴。研究发现，具有不变内积的 $A_{u}$ 和 $L_{u}$ 代数的循环上同调可分类保持内积的形变，并通过对称群作用将这些结构与图复形联系起来。

ABSTRACT

An A-infinity algebra is given by a codifferential on the tensor coalgebra of a (graded) vector space. An associative algebra is a special case of an A-infinity algebra, determined by a quadratic codifferential. The notions of Hochschild and cyclic cohomology generalize from associative to A-infinity algebras, and classify the infinitesimal deformations of the algebra, and those deformations preserving an invariant inner product, respectively. Similarly, an L-infinity algebra is given by a codifferential on the exterior coalgebra of a vector space, with Lie algebras being special cases given by quadratic codifferentials. There are natural definitions of cohomology and cyclic cohomology, generalizing the usual Lie algebra cohomology and cyclic cohomology, which classify deformations of the algebra and those which preserve an invariant inner product. This article explores the definitions of these infinity algebras, their cohomology and cyclic cohomology, and the relation to their infinitesimal deformations.

研究动机与目标

• 通过余代数余微分形式化，将霍赫希尔德上同调与李上同调推广至 $A_{\nu}$ 和 $L_{\nu}$ 代数。
• 通过上同调理论对 $A_{\nu}$ 和 $L_{\nu}$ 代数的无穷小形变进行分类。
• 证明循环上同调可分类 $A_{\nu}$ 和 $L_{\nu}$ 设置下保持不变内积的形变。
• 建立具有不变内积的 $A_{\nu}$ 代数与度量带边图同调中圈之间的联系。
• 将该框架扩展至 $L_{\nu}$ 代数，并展示其在度量普通图复形上的作用。

提出的方法

• 将 $A_{\nu}$ 代数定义为在分次向量空间张量余代数上的余微分，其中结合代数为特殊二次情形。
• 将 $L_{\nu}$ 代数定义为在外代数余代数上的余微分，其中李代数为特殊二次情形。
• 通过余微分及其交换子，为 $A_{\nu}$ 和 $L_{\nu}$ 代数构造上同调与循环上同调。
• 通过内积与 $L_{\nu}$ 结构引入循环链面上的微分，定义微分graded李代数结构。
• 利用分次向量空间的奇偶性反转，关联张量余代数与外代数余代数，尤其在 $\mathbb{Z}_2$-分次情形下。
• 应用该形式化方法，证明循环上同调群可分类保持不变内积的无穷小形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过余代数余微分形式化，将霍赫希尔德上同调与李上同调推广至 $A_{\infty}$ 和 $L_{\infty}$ 代数？
• RQ2 循环上同调在分类保持不变内积的 $A_{\infty}$ 和 $L_{\infty}$ 代数形变中扮演何种角色？
• RQ3 具有不变内积的 $A_{\infty}$ 代数如何在度量带边图复形的同调中产生圈？
• RQ4 与 $A_{\infty}$ 代数相比，$L_{\infty}$ 代数中循环上链的对称结构有何不同，其如何影响图复形的作用？
• RQ5 微分graded李代数结构如何从 $L_{\infty}$ 结构与内积中自然导出？

主要发现

• 具有不变内积的 $A_{\infty}$ 代数的循环上同调 $HC(V)$ 可分类保持内积的无穷小形变。
• 对于具有不变内积的 $L_{\infty}$ 代数，其循环上同调 $HC(V)$ 可分类保持内积的形变，其中 $HC^2(V)$ 控制此类形变。
• 具有不变内积的 $L_{\infty}$ 代数上的循环上链空间 $CC(V)$ 通过微分 $D$ 与格伦斯坦哈伯型括号，继承了微分graded李代数结构。
• 当结构为李代数时，$L_{\infty}$ 代数的上同调 $HC^n(V)$ 同构于具有平凡系数的李代数上同调 $H^{n+1}(V, \mathbf{k})$。
• 全对称群作用于 $L_{\infty}$ 代数的循环上链复形，而 $A_{\infty}$ 代数中则不然，这导致图复形作用中具有更丰富的对称性。
• 该框架表明，具有不变内积的 $L_{\infty}$ 代数作用于度量普通图复形，推广了 $A_{\infty}$ 代数在带边图复形上的情形。