[论文解读] Infinity Algebras, Massey Products, and Deformations

Michael Penkava, Lynelle Lang Weldon|ArXiv.org|Aug 12, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文引入了由 A-infinity 和 L-infinity 代数的形变所导出的广义 Massey 积，表明无穷代数的正式形变所产生的代数结构与 Z2-graded 李代数的形变相同。本文建立了无穷代数的广义 Maurer-Cartan 公式，将此前关于与分次交换代数张量积的李代数的结果加以推广。

ABSTRACT

In this paper we give some examples of generalized Massey products, arising from deformations of A-infinity and L-infinity algebras. The generalized Massey products are given by certain graded commutative algebra structures, depending on the deformation problem considered. We show that the formal deformations of infinity algebras give rise to the same algebraic structure as the deformations of Z2-graded Lie algebras. However, the problem of deforming a Lie algebra into an L-infinity algebra, or an associative algebra into an A-infinity algebra gives rise to a new algebra. We also consider deformations of infinity algebras with a base. In math.QA/9602024, it was shown that the Jacobi identity for a bracket on the tensor product of a Lie algebra and a graded commutative algebra is equivalent to a Maurer-Cartan formula. We prove a generalized result in the case of infinity algebras.

研究动机与目标

• 通过形变理论研究 A-infinity 和 L-infinity 代数背景下的广义 Massey 积。
• 确定无穷代数的正式形变与 Z2-graded 李代数的形变所生成的代数结构。
• 将雅可比恒等式与 Maurer-Cartan 公式的已知等价性推广至带有基的无穷代数。
• 分析结合代数与李代数向 A-infinity 和 L-infinity 代数的形变，识别出新的代数结构。
• 将 Maurer-Cartan 公式推广至无穷代数，类似于 math.QA/9602024 中关于李代数的结果。

提出的方法

• 利用 A-infinity 和 L-infinity 代数的形变理论构造广义 Massey 积。
• 使用分次交换代数结构来编码形变的代数数据。
• 将 Maurer-Cartan 方程框架应用于无穷代数，推广 Z2-graded 李代数的结果。
• 将结合代数向 A-infinity 代数的形变与李代数向 L-infinity 代数的形变视为不同的形变问题进行分析。
• 在张量积上的雅可比恒等式与无穷代数设定下的广义 Maurer-Cartan 公式之间建立对应关系。
• 利用带曲率的无穷代数与基扩张的形式化方法来建模带有结构的形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 无穷代数的形变会产生何种代数结构？
• RQ2 广义 Massey 积与无穷代数的形变理论有何关联？
• RQ3 分次交换代数在编码无穷代数形变数据方面起什么作用？
• RQ4 在带有基的无穷代数背景下，Maurer-Cartan 方程如何推广？
• RQ5 将李代数形变为 L-infinity 代数与将结合代数形变为 A-infinity 代数有何区别？

主要发现

• 无穷代数的正式形变所产生的代数结构与 Z2-graded 李代数的形变相同。
• 将结合代数形变为 A-infinity 代数或将李代数形变为 L-infinity 代数会生成一种新的、独特的代数结构。
• 广义 Massey 积由依赖于形变问题的分次交换代数结构编码。
• 李代数与分次交换代数张量积上的括号的雅可比恒等式，等价于无穷代数设定下的广义 Maurer-Cartan 公式。
• 本文将 math.QA/9602024 的结果推广至无穷代数，为带有基的形变建立了类似 Maurer-Cartan 的方程。
• 该框架通过分次交换结构统一了 A-infinity 和 L-infinity 代数之间的形变理论构造。