[论文解读] Information geometry and the hydrodynamical formulation of quantum mechanics

Mathieu Molitor|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过在紧致黎曼流形上的光滑概率密度空间上赋予类似费雪的黎曼度量和指数型仿射联络，建立了量子力学的无穷维信息几何框架。利用多姆布罗夫斯基的构造方法，推导出切丛上的辛结构，该结构重现了薛定谔方程，从而通过流体力学形式将量子动力学与信息几何联系起来。

ABSTRACT

Let (M,g) be a compact, connected and oriented Riemannian manifold. We denote D the space of smooth probability density functions on M. In this paper, we show that the Frechet manifold D is equipped with a Riemannian metric g^{D} and an affine connection abla^{D} which are infinite dimensional analogues of the Fisher metric and exponential connection in the context of information geometry. More precisely, we use Dombrowski's construction together with the couple (g^{D}, abla^{D}) to get a (non-integrable) almost Hermitian structure on D, and we show that the corresponding fundamental 2-form is a symplectic form from which it is possible to recover the usual Schrodinger equation for a quantum particle living in M. These results echo a recent paper of the author where it is stressed that the Fisher metric and exponential connection are related (via Dombrowski's construction) to Kahler geometry and quantum mechanics in finite dimension.

研究动机与目标

• 将有限维信息几何结构——特别是费雪度量和指数联络——推广至黎曼流形上光滑概率密度的无穷维空间。
• 研究量子力学的流体力学形式是否可从信息几何中的几何结构推导而出。
• 建立薛定谔方程与概率密度统计流形切丛上由多姆布罗夫斯基构造产生的辛形式之间的对应关系。
• 证明量子力学中的波函数可自然地从演化概率密度的几何结构中涌现，推广有限维结果。

提出的方法

• 定义紧致黎曼流形 $(M,g)$ 上具有单位总测度的光滑正概率密度的弗雷chet流形 $\mathcal{D}$。
• 使用多姆布罗夫斯基的构造方法，在 $\mathcal{D}$ 上构造费雪度量 $g^{\mathcal{D}}$ 和指数联络 $\nabla^{\mathcal{D}}$ 的无穷维类比。
• 将多姆布罗夫斯基方法应用于 $(g^{\mathcal{D}}, \nabla^{\mathcal{D}})$ 对，得到切丛 $T\mathcal{D}$ 上的几乎殆复结构。
• 证明该几乎殆复结构的基本2-形式为辛形式，并支配系统的动力学。
• 通过识别与能量泛函相关的哈密顿向量场，从该辛结构推导出薛定谔方程。
• 从流体力学分解 $\rho = |\psi|^2$, $\phi = \text{Im}(\log \psi)$ 构造波函数 $\Psi = \sqrt{\rho} e^{-i\phi/\hbar}$，将概率密度与量子态联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 费雪度量和指数联络能否推广至黎曼流形上光滑概率密度的无穷维空间？
• RQ2 在此无穷维统计流形上应用多姆布罗夫斯基构造，是否能产生一个重现薛定谔方程的辛结构？
• RQ3 量子力学中的波函数与信息几何中演化概率密度的几何结构有何关系？
• RQ4 在无穷维情形下，量子力学的流体力学形式能否从信息几何原理中推导而出？
• RQ5 标准量子形式体系能否通过此构造从纯粹的统计与几何基础中自然涌现？

主要发现

• 紧致黎曼流形 $(M,g)$ 上光滑概率密度空间 $\mathcal{D}$ 装备有黎曼度量 $g^{\mathcal{D}}$ 和仿射联络 $\nabla^{\mathcal{D}}$，它们分别是费雪度量和指数联络的无穷维类比。
• 将多姆布罗夫斯基构造应用于 $(g^{\mathcal{D}}, \nabla^{\mathcal{D}})$，在 $T\mathcal{D}$ 上得到一个非可积的几乎殆复结构，其基本2-形式为辛形式。
• 该 $T\mathcal{D}$ 上的辛形式生成的哈密顿流重现了在 $M$ 上具有势能 $V$ 的量子粒子的薛定谔方程。
• 由密度 $\rho$ 的流体力学分解导出的波函数 $\Psi = \sqrt{\rho} e^{-i\phi/\hbar}$，为统计流形到复值 $L^2$ 函数的希尔伯特空间提供了自然嵌入。
• 该构造推广了有限维结果：通过多姆布罗夫斯基方法在 $T\mathcal{P}_n^\times$ 上得到的凯勒结构微分同构于 $\mathbb{P}(\mathbb{C}^n)$，而本文工作将其推广至无穷维。
• 本文从信息几何原理出发，建立了量子力学的几何推导，表明波函数与厄米算符自然地从概率密度上的统计结构中涌现。