[论文解读] Inhomogeneous Restricted Lattice Walks

Manfred Buchacher, Manuel Kauers|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文研究了半空间和象限平面中的非齐次受限格路，其中步长集合依赖于位置或时间。通过推广的核方法求解线性函数方程组，证明了非齐次半空间格路的生成函数始终是代数的；并通过实验分类短步长象限模型，揭示了大量尚未有理论解释的D-有限情况。

ABSTRACT

We consider inhomogeneous lattice walk models in a half-space and in the quarter plane. For the models in a half-space, we show by a generalization of the kernel method to linear systems of functional equations that their generating functions are always algebraic. For the models in the quarter plane, we have carried out an experimental classification of all models with small steps. We discovered many (apparently) D-finite cases for most of which we have no explanation yet.

研究动机与目标

• 系统分析步长集合随位置或时间变化的非齐次格路模型，扩展经典齐次模型的结果。
• 将核方法推广至处理非齐次半空间格路产生的线性函数方程组。
• 对短步长非齐次象限模型进行分类，并研究其生成函数的性质。
• 识别非齐次模型中D-有限性的模式，特别是目前尚无理论解释的情况。

提出的方法

• 将核方法推广至求解由非齐次半空间格路产生的线性函数方程组。
• 使用由位置和步数定义的线性函数形式的多项式非齐次项，并在步长集合之间周期性切换。
• 应用群作用与轨道和（通过由 (x,y)↦(x,1/y) 和 (x,y)↦(1/x,y) 生成的群）消除函数方程中的边界项。
• 采用形式幂级数和步长集合的洛朗多项式表示，推导生成函数的闭式表达。
• 通过计算机代数进行实验分类，分析象限平面中具有小步长和两种非齐次模式的模型。
• 应用D-有限性的闭包性质，从部分解推断完整生成函数的D-有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非齐次格路在半空间中的生成函数是否总是代数的，即使步长集合依赖于位置和时间？
• RQ2 核方法能否扩展至处理非齐次模型中的线性函数方程组？
• RQ3 为何许多具有小步长的非齐次象限模型生成函数为D-有限，却缺乏理论解释？
• RQ4 非齐次模型的哪些结构性质导致生成函数为D-有限或代数？
• RQ5 如何将齐次模型中的维数概念推广至非齐次非齐次格路？

主要发现

• 非齐次半空间格路的生成函数始终是代数的，推广了Banderier与Flajolet的经典结果。
• 针对线性函数方程组的广义核方法成功证明了半空间情况下生成函数的代数性。
• 对于具有小步长的非齐次象限模型，发现大量生成函数为D-有限，但目前尚无理论解释。
• 象限模型的函数方程通过群作用下的轨道和求解，消除了边界项，从而能够提取正部。
• 完整生成函数 F(x,y) = F₀(x,y) + F₁(x,y) 由于闭包性质及涉及群轨道和的推导表达式而为D-有限。
• 实验分类表明，D-有限性在非齐次模型中普遍存在，暗示尚待揭示的更深层次结构性规律。