[论文解读] Insertion and Deletion Tolerance of Point Processes
本文引入并分析了 R^d 上点过程的插入容忍性与删除容忍性，通过在随机点插入或删除下概率测度的绝对连续性，建立了等价刻画。主要结果表明，诸如双曲平面上的高斯零点过程等平移不变过程，同时具备插入容忍性与删除容忍性，其应用涵盖连续介质渗滤与稳定匹配。
We develop a theory of insertion and deletion tolerance for point processes. A process is insertion-tolerant if adding a suitably chosen random point results in a point process that is absolutely continuous in law with respect to the original process. This condition and the related notion of deletion-tolerance are extensions of the so-called finite energy condition for discrete random processes. We prove several equivalent formulations of each condition, including versions involving Palm processes. Certain other seemingly natural variants of the conditions turn out not to be equivalent. We illustrate the concepts in the context of a number of examples, including Gaussian zero processes and randomly perturbed lattices, and we provide applications to continuum percolation and stable matching.
研究动机与目标
- 将插入容忍性与删除容忍性形式化为点过程的概率不变性性质。
- 通过在随机点操作下概率测度的绝对连续性，建立插入容忍性与删除容忍性的等价刻画。
- 研究这些条件在平移不变与遍历点过程背景下的含义。
- 将理论应用于高斯零点过程与随机扰动格点等具体模型。
- 通过容忍性性质，展示其在连续介质渗滤与稳定匹配中的应用。
提出的方法
- 将插入容忍性定义为：在过程中加入一个均匀随机点后，其概率测度相对于原始过程绝对连续。
- 将删除容忍性定义为：在典型位置移除一个点后，其概率测度相对于原始过程绝对连续。
- 证明两种容忍性条件的多种等价形式，包括涉及庞普测度与有界集限制的版本。
- 利用庞普测度理论与遍历性，推导平移不变过程的刻画。
- 应用复分析中的罗西定理与条件分布的收敛性，建立双曲平面上高斯零点过程的绝对连续性。
- 使用对角化与鞅收敛论证，证明在点过程极限背景下条件概率的几乎必然收敛。
实验结果
研究问题
- RQ1点过程具备插入容忍性或删除容忍性的必要与充分条件是什么？
- RQ2插入与删除容忍性如何与有限能量条件及庞普测度相关联？
- RQ3能否通过有界集上的限制或条件分布刻画容忍性条件？
- RQ4主定理在删除容忍性情形下的自然类比是否成立，如同在插入容忍性中一样？
- RQ5双曲平面上的高斯零点过程是否具备插入与删除容忍性，这对它们的概率结构有何含义？
主要发现
- 插入容忍性等价于在插入位置满足一定条件时，插入有限个随机点后过程的分布相对于原始分布绝对连续。
- 删除容忍性等价于：在给定某有界集外部过程的条件下，该有界集不包含任何点的概率几乎必然为正。
- 对于平移不变的遍历点过程，插入容忍性等价于：在原点添加一个点后的庞普版本相对于原始过程绝对连续。
- 删除容忍性不蕴含自然类比的庞普条件（1），且条件（1）仅是删除容忍性的充分条件，而非必要条件。
- 双曲平面上的高斯零点过程同时具备插入容忍性与删除容忍性，该结论通过条件分布的收敛性与罗西定理得以证明。
- 该理论可推广至具有不变测度的局部紧致第二可数豪斯多夫群，从而适用于非欧几里得空间（如双曲平面）。
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