[论文解读] Instability of spherical naked singularities of a scalar field under isotropic gravitational perturbations

Junbin Li, Jue Liu|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2017

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究了在爱因斯坦-标量场系统中，球对称裸奇点在非球面对称引力微扰下的不稳定性。通过一个特征初值问题，初始数据包含一个球对称的空壳锥面和一个一般（非对称）的向外传播空壳锥面，证明了导致奇点附近不形成闭合 trapped 表面的初值数据集合属于第一范畴，这意味着裸奇点在典型非球面对称微扰下是不稳定的。

ABSTRACT

In this paper, we initiate the study of the instability of naked singularities without symmetries. In a series of papers, Christodoulou proved that naked singularities are not stable in the context of the spherically symmetric Einstein equations coupled with a massless scalar field. We study in this paper the next simplest case: a characteristic initial value problem of this coupled system with the initial data given on two intersecting null cones, the incoming one of which is assumed to be spherically symmetric and singular at its vertex, and the outgoing one of which has no symmetries. It is shown that, arbitrarily fixing the initial scalar field, the set of the initial conformal metrics on the outgoing null cone such that the maximal future development does not have any sequences of closed trapped surfaces approaching the singularity, is of first category in the whole space in which the shear tensors are continuous. Such a set can then be viewed as exceptional, although the exceptionality is weaker than the at least $1$ co-dimensionality in spherical symmetry. Almost equivalently, it is also proved that, arbitrarily fixing an incoming null cone $\underline{C}_\varepsilon$ to the future of the initial incoming null cone, the set of the initial conformal metrics such that the maximal future development has at least one closed trapped surface before $\underline{C}_\varepsilon$, contains an open and dense subset of the whole space. Since the initial scalar field can be chosen such that the singularity is naked if the initial shear is set to be zero, we may say that the spherical naked singularities of a self-gravitating scalar field are not stable under gravitational perturbations. This in particular gives new families of non-spherically symmetric gravitational perturbations different from the original spherically symmetric scalar perturbations given by Christodoulou.

研究动机与目标

• 研究爱因斯坦-标量场系统中球对称裸奇点在超越球面对称性之外的稳定性。
• 确定此类奇点是否在典型非球面对称引力微扰下仍然存在。
• 分析初始数据的最大未来发展结构，其初始数据包含一个奇异的、球对称的空壳锥面和一个一般向外传播的空壳锥面。
• 量化避免在奇点附近形成闭合 trapped 表面的初值数据的普遍性，以指示稳定性。
• 将克里斯托杜卢的球面对称不稳定性结果推广至非对称微扰，证明在更广泛的初值数据类中存在不稳定性。

提出的方法

• 在两个相交的空壳锥面上构造一个特征初值问题，初始数据分别为一个向内传播的（球对称且顶点奇异）锥面和一个向外传播的（无对称性）锥面。
• 固定初始标量场，并研究在向外传播空壳锥面上具有连续剪切张量的初始共形度量空间。
• 应用贝尔范畴定理，证明导致奇点附近不出现闭合 trapped 表面序列的初值数据集合属于第一范畴。
• 建立补集——即在固定未来空壳锥面前至少形成一个闭合 trapped 表面的初值数据——为开集且稠密。
• 利用双空壳叶状结构下爱因斯坦-标量场方程的结构，分析 trapped 表面的形成与奇点行为。
• 将结果与克里斯托杜卢的球面对称情形进行比较，表明非对称微扰会破坏裸奇点的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 自引力标量场的球对称裸奇点在非球面对称引力微扰下是否不稳定？
• RQ2 在非对称情形下，避免在奇点附近形成闭合 trapped 表面的初值数据在测度论上的普遍性如何？
• RQ3 在典型微扰下，球面对称情形下的裸奇点稳定性与非对称情形相比如何？
• RQ4 对于一类典型初值数据，是否能保证在固定未来空壳锥面前形成闭合 trapped 表面？
• RQ5 在非对称情形下，剪切张量连续性在表征初值数据集稳定性方面起什么作用？

主要发现

• 在向外传播空壳锥面上，防止形成接近奇点的闭合 trapped 表面序列的初值共形度量集合，在连续剪切张量空间中属于第一范畴。
• 这意味着此类稳定构型极为罕见，即使它们并不要求像球面对称情形中那样具有至少一维余维。
• 补集——即在固定未来空壳锥面前至少形成一个闭合 trapped 表面的初值数据——为开集且稠密。
• 因此，在典型初值数据（按拓扑意义）下，闭合 trapped 表面会在给定未来空壳锥面前形成，表明裸奇点的不稳定性。
• 即使初始标量场被固定为在球面对称极限下产生裸奇点，该不稳定性结果依然成立。
• 本文在一类新的非球面对称引力微扰下建立了不稳定性，将克里斯托杜卢的结果从球面对称性推广至更广的初值数据类。