[论文解读] Instantaneously complete Chern-Ricci flow and Kähler-Einstein metrics

Shaochuang Huang, Man-Chun Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文在具有可能不完整初始数据的完备非紧复流形上建立了瞬时完备的 Chern-Ricci 流的存在性，将 Giesen 和 Topping 的 Ricci 流结果推广至高维情形。在曲率与挠率有界条件下，证明了长时间存在性及收敛至 Kähler-Einstein 度量，扩展了 Lott-Zhang 与 Tosatti-Weinkove 的结果至非紧、可能无界曲率的情形。

ABSTRACT

In this work, we obtain some existence results of Chern-Ricci Flows and the corresponding Potential Flows on complex manifolds with possibly incomplete initial data. We discuss the behaviour of the solution as $t ightarrow 0$. These results can be viewed as generalization of an existence result by Giesen and Topping for surfaces of hyperbolic type of Ricci flow to higher dimensions in certain sense. On the other hand, we also discuss the long time behaviour of the solution and obtain some sufficient conditions for the existence of Kähler-Einstein metric on complete noncompact Hermitian manifolds, which generalizes the work of Lott-Zhang and Tosatti-Weinkove to complete noncompact Hermitian manifolds with possibly unbounded curvature.

研究动机与目标

• 建立在具有可能不完整初始度量的完备非紧复流形上，Chern-Ricci 流及其潜在流的短时存在性。
• 分析当初始数据不完整或曲率无界时，$ t > 0 $ 时流的瞬时完备性。
• 推导出在完备非紧复流形上，归一化 Chern-Ricci 流长时间存在并收敛至 Kähler-Einstein 度量的充分条件。
• 将先前关于 Kähler-Einstein 度量的研究结果（如 Lott-Zhang、Tosatti-Weinkove）推广至非紧情形，且允许曲率无界。
• 为通过具有奇点或不完整初始数据的抛物复 Monge-Ampère 方程研究 Kähler-Einstein 度量提供一个框架。

提出的方法

• 通过抛物复 Monge-Ampère 方程 (1.2) 定义归一化 Chern-Ricci 流，其中 $ u $ 满足 $ \frac{\nu}{\nu t}u = \nu \text{log} \frac{(\nu + \nu \nu u)^n}{\theta_0^n} - u $，$ \nu $ 为依赖时间的微分形式。
• 利用势流形式化方法，将 Chern-Ricci 流与满足 $ \nu(t) = \nu + \nu \nu u $ 的解 $ u(t) $ 关联，确保 $ t > 0 $ 时演化度量的正定性。
• 在 $ M \times [1, \nu) $ 上，利用背景度量 $ h $ 的曲率与挠率有界性，以及支撑函数 $ \rho $，建立演化度量 $ g(t) $ 与背景度量 $ h $ 的一致等价性。
• 在 $ |\nu \rho|_h^2 + |\nu \nu \rho|_h \nu K $ 的条件下应用最大原理（引理 B.1），以控制演化过程并确保 $ f \nu 0 $ 在 $ M \times [0,S) $ 上成立。
• 推导 $ \text{tr}_g h $ 与 $ \text{tr}_h g $ 的演化方程，并利用它们在时间上一致地有界度量的上下界。
• 借助度量的一致等价性，通过与 [16] 中定理 5.1 相同的论证，得出在曲率与挠率有界条件下收敛至 Kähler-Einstein 度量的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Chern-Ricci 流能实现瞬时完备性，即在 $ t > 0 $ 时即使初始度量不完整也能成为完备的？
• RQ2 在具有可能无界曲率的完备非紧复流形上，归一化 Chern-Ricci 流能否收敛至 Kähler-Einstein 度量？
• RQ3 哪些几何与分析条件（关于曲率、挠率及支撑函数）能确保 Chern-Ricci 流的长时间存在性与度量的一致等价性？
• RQ4 如何利用势流形式化 (1.2) 将存在性结果推广至非紧或初始度量不完整的情形？
• RQ5 Lott-Zhang 与 Tosatti-Weinkove 在 Kähler-Einstein 度量方面的结果，能在多大程度上推广至具有无界曲率的非紧复流形？

主要发现

• 若背景度量 $ h $ 满足曲率与挠率有界性，并存在一个适当的支撑函数 $ \rho $ 满足 $ |\nu \rho|_h^2 + |\nu \nu \rho|_h \nu K $，则从不完整初始度量出发的 Chern-Ricci 流在 $ t > 0 $ 时即为瞬时完备的。
• 在定理 1.1 的假设下，归一化 Chern-Ricci 流对所有 $ t > 0 $ 存在，且演化度量 $ g(t) $ 在 $ M \times [1, \nu) $ 上与背景度量 $ h $ 一致等价，常数仅依赖于 $ n, L, \nu, ||f||_\nu, K_0 $。
• 当背景度量 $ h $ 满足 $ \text{BK}_h \nu -K $，$ |T_h|_h^2 + |\nabla^h_{\bar{\nu}} T_h| \nu K $，且支撑函数 $ \rho $ 满足所需有界性时，流收敛至完备非紧复流形上的 Kähler-Einstein 度量。
• 势流 (1.2) 提供了一种抛物复 Monge-Ampère 形式化，使得即使初始度量不光滑或不完整，也能对 Chern-Ricci 流实施控制。
• 最大原理（引理 B.1）被用于证明次解保持非正，从而在曲率与挠率受控下实现对度量演化的一致有界性。
• 在 $ M \times [1, \nu) $ 上，一致等价性 $ C^{-1} h \nu g(t) \nu C h $ 暗示流保持一致非退化，并可通过标准抛物正则性论证实现收敛至 Kähler-Einstein 度量。