[论文解读] Weakly PIC1 manifolds with maximal volume growth

Fei He, Man-Chun Lee|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文证明了具有最大体积增长的完备弱PIC1黎曼流形微分同胚于$ℝ^n$。通过利用曲率估计和测地线射影半径控制的里奇流，作者证明了流的长时间存在性，并通过时间参数化的微分同胚变形指数映射，构造了到欧几里得空间的全局微分同胚。

ABSTRACT

In this article we use Ricci flow to show that complete PIC1 manifolds with maximal volume growth are diffeomorphic to $\mathbb{R}^n$. One of the key ingredients is local estimates of curvature lower bounds on an initial time interval of the Ricci flow. As another application of these estimates we obtain pseudolocality type results related to the PIC1 condition.

研究动机与目标

• 证明具有最大体积增长的完备弱PIC1流形微分同胚于$ℝ^n$。
• 在弱PIC1流形的里奇流初始时间区间上建立局部曲率下界。
• 在PIC1条件下并结合初始球上的体积下界，推导出类似伪局部性的结果。
• 证明最大体积增长可保证弱PIC1流形上里奇流的长时间存在性。
• 通过指数映射和时间参数化的形变，构造从$M$到$ℝ^n$的全局微分同胚。

提出的方法

• 对具有最大体积增长的完备弱PIC1流形应用里奇流，利用局部曲率估计保证短时间存在性。
• 使用局部极大值原理推导曲率下界，确保里奇流下弱PIC1条件得以保持。
• 在假设PIC1条件和初始球近乎欧几里得体积的前提下，建立伪局部性结果（定理3.1）。
• 证明最大体积增长意味着里奇流存在长时间，且满足$|Rm|(t) \leq C_0/t$以及$\mathrm{inj}_{g(t)} \to \infty$。
• 通过时间参数化的微分同胚变形逆指数映射，从$M$构造到$\mathbb{R}^n$的微分同胚。
• 利用一列时间$t_i$（其测地线射影半径递增）归纳定义在嵌套球上一致的微分同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明具有最大体积增长的弱PIC1流形微分同胚于$\mathbb{R}^n$？
• RQ2 为确保完备弱PIC1流形上里奇流的长时间存在性，需要哪些曲率估计？
• RQ3 在PIC1条件下，若以体积下界替代曲率下界，能否建立类似伪局部性的结果？
• RQ4 最大体积增长是否意味着在里奇流下测地线射影半径趋于无穷？
• RQ5 在这些曲率和体积条件下，能否从指数映射构造到$\mathbb{R}^n$的全局微分同胚？

主要发现

• 具有最大体积增长的完备弱PIC1流形微分同胚于$\mathbb{R}^n$。
• 此类流形上的里奇流对所有时间存在，且满足$|Rm|(t) \leq C_0/t$以及$\mathrm{inj}_{g(t)} \geq \sqrt{C_0 t}$，其中$C_0 > 0$。
• 通过局部极大值原理在初始时间区间上建立了局部曲率下界，确保了弱PIC1条件在流下的保持。
• 在初始球具有近乎欧几里得体积且PIC1曲率有下界的假设下，证明了类似伪局部性的结果。
• 微分同胚的构造依赖于通过保持嵌套球上一致性的时间参数化微分同胚变形逆指数映射。
• 该结果改进了先前工作，将全局有界曲率假设放松为时间截面上的局部曲率与体积条件。