[论文解读] Instanton Correction, Wall Crossing And Mirror Symmetry Of Hitchin's Moduli Spaces

Wenxuan Lu|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 50被引用 11

一句话总结

本文建立了Hitchin模空间中两个瞬子修正问题之间的深层等价性：通过Fock-Goncharov坐标和二次微分叶状结构修正超凯勒度量，与通过Gross-Siebert对数Gromov-Witten理论修正复结构。关键结果是Kontsevich与Soibelman的墙穿跃公式统一了这两个问题，为Hitchin模空间提供了超越几何Langlands的非平凡镜像对称陈述。

ABSTRACT

We study two instanton correction problems of Hitchin's moduli spaces along with their wall crossing formulas. The hyperkahler metric of a Hitchin's moduli space can be put into an instanton-corrected form according to physicists Gaiotto, Moore and Neitzke. The problem boils down to the construction of a set of special coordinates which can be constructed as Fock-Goncharov coordinates associated with foliations of quadratic differentials on a Riemann surface. A wall crossing formula of Kontsevich and Soibelman arises both as a crucial consistency condition and an effective computational tool. On the other hand Gross and Siebert have succeeded in determining instanton corrections of complex structures of Calabi-Yau varieties in the context of mirror symmetry from a singular affine structure with additional data. We will show that the two instanton correction problems are equivalent in an appropriate sense via the identification of the wall crossing formulas in the metric problem with consistency conditions in the complex structure problem. This result provides examples of Calabi-Yau varieties where the instanton correction (in the sense of mirror symmetry) of metrics and complex structures can be determined.

研究动机与目标

• 通过源自二次微分叶状结构的特殊坐标，理解Hitchin模空间超凯勒度量的瞬子修正。
• 通过Gross-Siebert的对数Gromov-Witten理论分析卡拉比-丘流形复结构的瞬子修正。
• 在Hitchin模空间中精确建立两个瞬子修正问题之间的数学等价性。
• 证明Kontsevich与Soibelman的墙穿跃公式作为两个问题间统一的一致性条件与计算工具。
• 提供瞬子修正对度量与复结构均完全确定的显式例子，为镜像对称提供新的卡拉比-丘例子。

提出的方法

• 利用黎曼面上的二次微分叶状结构构造Hitchin模空间上的Fock-Goncharov坐标。
• 将Kontsevich与Soibelman的墙穿跃公式作为超凯勒度量问题中瞬子修正的一致性条件应用。
• 使用Gross-Siebert框架，从带有对数数据的奇异仿射结构中确定卡拉比-丘流形复结构的瞬子修正。
• 将度量问题中的墙穿跃公式与复结构问题中的一致性条件相识别，建立等价性。
• 通过自伴算子的有序乘积，利用簇代数结构与散射图计算墙穿跃变换。
• 通过显式例子验证等价性，包括通过变量变换与簇变异推导卡拉比-丘流形的定义方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hitchin模空间的超凯勒度量瞬子修正与复结构瞬子修正之间有何关系？
• RQ2 Kontsevich与Soibelman的墙穿跃公式能否作为度量与复结构修正之间的统一机制？
• RQ3 Gross-Siebert构造复结构修正与Fock-Goncharov构造度量修正之间的精确数学等价性是什么？
• RQ4 簇代数变异与散射图如何在两个问题中编码墙穿跃行为？
• RQ5 从这种等价性中产生哪些显式的卡拉比-丘流形？其定义方程如何推导？

主要发现

• Kontsevich与Soibelman的墙穿跃公式提供了一致性条件，将超凯勒度量问题与复结构问题中的瞬子修正联系起来。
• 在墙穿跃结构识别的前提下，通过Fock-Goncharov坐标实现的度量修正问题与通过Gross-Siebert对数Gromov-Witten理论实现的复结构修正问题在数学上等价。
• 显式推导出卡拉比-丘流形的定义方程，即两个二次曲面的交线：$XY = (1+W)^2$，$ZW = (1+Y)^2$。
• 簇变换$y_2 = x_1^{-1}, x_2 = y_1(1+x_1)^2$在变量重参数化下生成相同的定义方程，确认了一致性。
• 通过沿双向穿越稳定性墙的连续演化路径，不进行截断，推导出墙穿跃公式，得到变换$K_{\bar{\theta}_1 + \bar{\theta}_2}^{-2}$。
• 在$\mathrm{Spec}\, \mathbf{C}[t]/(t^{k+1})$上对增加的$k$的退化系统，实现了完整瞬子修正的一致性、有限阶近似。