[论文解读] Instanton Floer homology, sutures, and Euler characteristics

Zhenkun Li, Fan Ye|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 88被引用 6

一句话总结

本文为平衡sutured流形上的瞬子Floer同调建立了公理化框架，并证明了该同调的分次欧拉特征完全由公理决定。关键结果是，sutured瞬子同调的分次欧拉特征 $\chi_{\rm gr}(SHI(M,\gamma))$ 与sutured Heegaard Floer同调的分次欧拉特征 $\chi_{\rm gr}(SFH(M,\gamma))$ 在单项式因子意义下一致，推广了在 $S^3$ 中的链结对亚历山大多项式的恢复，并证实了在欧拉特征设定下瞬子与Heegaard Floer不变量等价的猜想。

ABSTRACT

This is a companion paper to an earlier work of the authors. In this paper, we provide an axiomatic definition of Floer homology for balanced sutured manifolds and prove that the graded Euler characteristic $χ_{ m gr}$ of this homology is fully determined by the axioms we proposed. As a result, we conclude that $χ_{ m gr}(SHI(M,γ))=χ_{ m gr}(SFH(M,γ))$ for any balanced sutured manifold $(M,γ)$. In particular, for any link $L$ in $S^3$, the Euler characteristic $χ_{ m gr}(KHI(S^3,L))$ recovers the multi-variable Alexander polynomial of $L$, which generalizes the knot case. Combined with the authors' earlier work, we provide more examples of $(1,1)$-knots in lens spaces whose $KHI$ and $\widehat{HFK}$ have the same dimension. Moreover, for a rationally null-homologous knot in a closed oriented 3-manifold $Y$, we construct canonical $\mathbb{Z}_2$-gradings on $KHI(Y,K)$, the decomposition of $I^\sharp(Y)$ discussed in the previous paper, and the minus version of instanton knot homology $\underline{ m KHI}^-(Y,K)$ introduced by the first author.

研究动机与目标

• 为平衡sutured 3-流形上的瞬子Floer同调提供一个公理化定义。
• 证明该同调的分次欧拉特征由公理唯一确定。
• 建立对于任意平衡sutured流形 $(M,\gamma)$，有 $\chi_{\rm gr}(SHI(M,\gamma)) \sim \chi_{\rm gr}(SFH(M,\gamma))$，其中 $\sim$ 表示在单项式因子意义下的相等。
• 将从瞬子纽结同调 $KHI(S^3, L)$ 的分次欧拉特征中恢复多变量亚历山大多项式的结论推广。

提出的方法

• 通过cobordism映射和分次的正式性质，对平衡sutured流形的Floer型同调进行公理化。
• 通过生成 $H_2(M,\partial M)/{\rm Tors}$ 的适当嵌入的可允许曲面，定义 $SHI(M,\gamma)$ 和 $SFH(M,\gamma)$ 上的 $\mathbb{Z}^n$-分次。
• 在两种同调上引入与 $\mathbb{Z}^n$-分次相容的相对 $\mathbb{Z}_2$-分次。
• 利用理论的正式结构，通过处理柄附件和接触结构的归纳法计算分次欧拉特征 $\chi_{\rm gr}(SHI(M,\gamma))$。
• 利用 $KHI(Y,K)$、$I^\sharp(Y)$ 和 $\underline{\rm KHI}^-(Y,K)$ 上的典范 $\mathbb{Z}_2$-分次，关联不同理论间的欧拉特征。
• 应用先前关于框架瞬子同调和cobordism映射的研究结果，验证欧拉特征计算的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 瞬子sutured同调的分次欧拉特征是否完全由一组公理决定？
• RQ2 对于所有平衡sutured流形，$\chi_{\rm gr}(SHI(M,\gamma))$ 是否在单项式因子意义下与 $\chi_{\rm gr}(SFH(M,\gamma))$ 一致？
• RQ3 能否从 $KHI(S^3, L)$ 的分次欧拉特征中恢复链结 $L \subset S^3$ 的多变量亚历山大多项式？
• RQ4 在 $KHI(Y,K)$、$I^\sharp(Y)$ 和 $\underline{\rm KHI}^-(Y,K)$ 上的典范 $\mathbb{Z}_2$-分次是什么？它如何影响欧拉特征？
• RQ5 在论文所用的归一化下，$\mathbf{KHI}^g(-S^3, K)$ 与 $\chi_{\mu}(-S^3, K)$ 的欧拉特征之间有何关系？

主要发现

• 由平衡sutured流形上瞬子Floer同调所提出的公理，完全决定了其分次欧拉特征 $\chi_{\rm gr}(SHI(M,\gamma))$。
• 对于任意平衡sutured流形 $(M,\gamma)$，有 $\chi_{\rm gr}(SHI(M,\gamma)) \sim \chi_{\rm gr}(SFH(M,\gamma))$，其中 $\sim$ 表示在 $\pm t_1^{j_1} \cdots t_n^{j_n}$ 乘法因子意义下的相等。
• 对于任意链结 $L \subset S^3$，分次欧拉特征 $\chi_{\rm gr}(KHI(S^3, L))$ 恢复了 $L$ 的多变量亚历山大多项式，推广了纽结情形的结论。
• 在 $KHI(Y,K)$、$I^\sharp(Y)$ 和 $\underline{\rm KHI}^{-}(Y,K)$ 上的典范 $\mathbb{Z}_2$-分次是良好定义的，并且与欧拉特征计算相容。
• 对于任意纽结 $K \subset S^3$，在Kronheimer和Mrowka所用的归一化下，有 $\chi_{\mu}(-S^3, K) = -1$，且当 $y > 0$ 时，$\chi_{y/x}(-S^3, K) = -y$。
• 直接系统 $\underline{\rm SHI}(M,\gamma)$ 与闭包的亏格无关，且映射 $\psi_{-,n+1}^n$ 保持 $\mathbb{Z}_2$-分次，从而保证了 $\underline{\rm KHI}^{-}(-S^3, K)$ 上的 $\mathbb{Z}_2$-分次是良好定义的。