[论文解读] Gluing maps and cobordism maps for sutured monopole Floer homology

Zhenkun Li|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文为sutured单极Floer同调构造了明确定义的粘合与cobordism映射，确立了其函子性及关于单位的不变性。该构造被推广至sutured瞬子Floer同调，证明了粘合映射与处理分解无关，并通过粘合给出了接触不变量的新定义，该定义被证明与原有定义等价。

ABSTRACT

In this paper we construct gluing maps and cobordism maps for sutured monopole Floer homology.

研究动机与目标

• 通过构造明确定义的cobordism映射，确立sutured单极Floer同调的自然性。
• 为sutured单极Floer同调定义并研究具有函子性、且在同伦与复合下不变的粘合映射。
• 将上述构造推广至sutured瞬子Floer同调，证明类似的函子性质。
• 为sutured瞬子同调中的接触不变量提供一种基于粘合的新定义。
• 验证关于处理分解无关性与cobordism映射对偶性的猜想。

提出的方法

• 通过sutured流形之间cobordism上的接触结构构造处理粘合映射。
• 利用具有凸边界和指定分隔集的粘合区域上的接触结构，为sutured单极Floer同调定义粘合映射。
• 证明粘合映射在复合与同伦下的函子性，显示其与微分同胚的相容性。
• 为与sutured cobordism相关的sutured单极Floer同调引入与接触结构关联的cobordism映射。
• 将相同框架应用于sutured瞬子Floer同调，使用标记奇数闭包及全息算子的广义特征空间。
• 将sutured瞬子同调中的接触不变量定义为从Darboux球体出发的粘合映射下生成元的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 sutured单极Floer同调的粘合映射是否在单位意义下明确定义且具有函子性？
• RQ2 能否为sutured单极Floer同调构造满足函子性与对偶性的cobordism映射？
• RQ3 sutured瞬子Floer同调的粘合映射是否与处理分解的选择无关？
• RQ4 基于粘合的sutured瞬子同调中接触不变量的新定义是否与原始定义一致？
• RQ5 经典瞬子Floer同调中的接触元是否可通过此粘合过程重构？

主要发现

• sutured单极Floer同调的粘合映射 $\Phi_\xi$ 在乘以单位意义下明确定义，且满足复合与同伦不变性。
• sutured单极Floer同调的cobordism映射 $\underline{\rm SHM}(\mathcal{W})$ 在单位意义下明确定义，且在复合下满足函子性，在自然配对下满足对偶性。
• sutured瞬子Floer同调的粘合映射与处理分解无关，证实了文献[3]中的猜想1.8。
• 通过从Darboux球体出发的粘合所给出的接触不变量的新定义，得到类 $\phi(M,\gamma,\xi) = \Phi_\xi(1)$，其与原始接触元等价。
• 通过粘合定义的接触元在粘合映射下保持不变，证实其在接触粘合操作下的不变性。
• 该构造可推广至sutured瞬子Floer同调，得到一组具有明确定义映射的$\mathbb{C}$-模的射影传递系统。