[论文解读] Instanton representation of Plebanski gravity. Consistency of the initital value constraints under time evolution

Eyo Eyo Ita|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文通过使用拉格朗日方程而非狄拉克正则程序，证明了在普莱班斯基引力的瞬子表示中，初值约束的一致性，即时间演化下约束面保持不变。关键结果是，微分同胚、高斯定律和哈密顿约束的时间演化导出弱为零的时间导数，表明不会产生新约束，从而确认了该理论在佩特罗夫类型 I、D 和 O 时空中的自洽性。

ABSTRACT

The instanton representation of Plebanski gravity provides as equations of motion a Hodge self-duality condition and a set of `generalized' Maxwell's equations, subject to gravitational degrees of freedom encoded in the initial value constraints of general relativity. The main result of the present paper will be to prove that this constraint surface is preserved under time evolution. We carry this out not using the usual Dirac procedure, but rather the Lagrangian equations of motion themsleves. Finally, we provide a comparison with the Ashtekar formulation to place these results into overall context.

研究动机与目标

• 证明普莱班斯基引力瞬子表示中的初值约束在时间演化下保持不变。
• 在不依赖正则狄拉克程序的前提下，建立该理论的一致性，转而使用拉格朗日方程。
• 将瞬子表示的约束结构与阿什特克尔形式进行比较，阐明其概念与结构上的差异。
• 阐明高斯定律与哈密顿约束在瞬子形式中的作用，表明其变换性质与规范不变性与阿什特克尔形式中的对应量存在根本不同。
• 通过非正则变换，从阿什特克尔正则框架推导出瞬子变量的泊松括号结构。

提出的方法

• 直接从瞬子作用 $I_{ ext{Inst}}$ 的运动方程推导出动量变量 $A^a_i$ 和 $ar{ heta}^a_i$ 的时间演化，不经过正则化量化。
• 使用拉格朗日运动方程计算微分同胚、高斯定律和哈密顿约束的时间导数，表明其弱为零。
• 使用弱等式 $ ilde{0}$ 处理由非退化 $B^i_a$ 和 $ ext{det} ar{ heta} \neq 0$ 条件引发的约束。
• 通过从正则结构推导出的泊松括号，将瞬子表示的约束代数与阿什特克尔形式的约束代数进行比较。
• 对阿什特克尔变量 $(A^a_i, ar{ heta}^a_i)$ 到瞬子变量 $(A^a_i, ar{ heta}^a_i)$ 执行非正则变换，推导出相应的泊松括号。
• 通过变换 $ar{ heta}^a_i = \theta_{ae} B^i_e$ 计算 $ar{ heta}_{ae}$ 的泊松括号 $ abla_{ ext{inst}}$，得到一个涉及协理导数与逆磁化强度的非平凡 $ heta$-$\theta$ 括号。

实验结果

研究问题

• RQ1 普莱班斯基引力瞬子表示的约束面是否在时间演化下保持不变？
• RQ2 在不使用狄拉克正则程序的情况下，微分同胚、高斯定律和哈密顿约束的时间演化行为如何？
• RQ3 瞬子形式中的约束结构与阿什特克尔形式中的约束结构之间存在何种关系？
• RQ4 为何瞬子表示中的哈密顿约束在 $SO(3,C)$ 变换下不具备规范不变性，而阿什特克尔形式中却具备？
• RQ5 瞬子变量的泊松括号是什么？它们与阿什特克尔形式的正则括号有何不同？

主要发现

• 每个初值约束（微分同胚、高斯定律、哈密顿约束）的时间导数弱为零，确认了约束面在时间演化下保持不变。
• 约束演化不产生任何新约束，确保系统无需额外条件即可保持一致。
• 瞬子表示中的高斯定律与哈密顿约束在 $SO(3,C)$ 变换下不具备规范不变性，而阿什特克尔形式中则具备，表明这些约束在其中扮演根本不同的角色。
• 对 $ heta_{ae}$ 的泊松括号 $ abla_{ ext{inst}}$ 是非平凡的，表达式为 $\{\theta_{ae}(x), \theta_{bf}(y)\} = \epsilon^{ijm}\left((B^{-1}(y))^{f}_{j} D^{x}_{m} \theta_{ab}(x)(B^{-1}(x))^{e}_{i} + (B^{-1}(x))^{e}_{i} D^{y}_{m} \theta_{ba}(y)(B^{-1}(y))^{f}_{j}\right)\delta^{(3)}(\mathbf{x},\mathbf{y})$，表明其存在非平凡的自对易性。
• 尽管未使用狄拉克程序，该理论在狄拉克意义下仍保持一致；其一致性直接由拉格朗日运动方程确立。