[论文解读] Instantons on ALE spaces for classical groups

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文通过引入一个结合了图自同构 $*$、最长 Weyl 群元素的反射函子 $\mathcal{F}$ 以及转置运算 $t$ 的对合，将 ALE 空间上瞬子的 ADHM 构造从酉群推广到了经典群（SO(n) 和 Sp(n/2)）。关键结果是：SO(n)/Sp(n/2) 框架瞬子的模空间同构于酉群瞬子模空间上该复合对合的固定点集。

ABSTRACT

We give an ADHM type description of instantons on ALE spaces for classical groups as an extension of the description in [KN90] for unitary groups.

研究动机与目标

• 将 ALE 空间上瞬子的 ADHM 描述从酉规范群推广到经典群，特别是 SO(n) 和 Sp(n/2)。
• 解决文献中的空白：尽管已有相关工具，但 ALE 空间上的 SO/Sp 瞬子尚未以 ADHM 形式明确描述。
• 基于 [KN90] 和 [Nak03]，利用反射函子 $\mathcal{F}$、图自同构 $*$ 和转置 $t$，提供 SO(n)/Sp(n/2) 瞬子模空间的完整且显式构造。
• 建立复合对合 $t \circ * \circ \mathcal{F}$ 在 U(n) 瞬子模空间上的固定点集，即为 SO(n)/Sp(n/2) 瞬子的模空间。
• 将构造扩展至模空间的 Uhlenbeck 部分紧化，证明该对合可延拓为同胚，且固定点集保持良好定义。

提出的方法

• 利用 McKay 对应，将 $\Gamma \subset \mathrm{SU}(2)$ 的不可约表示 $\rho_i$ 与仿射 Dynkin 图的顶点关联。
• 通过 $\rho_i^* \cong \rho_{i^*}$ 定义 Dynkin 图上的对合 $*$，该对合由最长 Weyl 群元素 $w_0$ 导出，其作用为：对 $A_\ell$ 有 $i^* = \ell - i + 1$，对 $D_\ell$、$E_6$ 有类似规则。
• 应用与 $w_0$ 关联的反射函子 $\mathcal{F}$，以关联 $\zeta$ 和 $-\zeta$ 的 ADHM 数据，从而描述对偶瞬子。
• 在框架空间 $W_i$ 上定义转置运算 $t$，该运算通过一个保持辛或正交结构的双线性型定义，具体取决于所考虑的群。
• 在 U(n) 瞬子模空间 $\mathfrak{M}_\zeta^{\mathrm{reg}}(\mathbf{v},\mathbf{w})$ 上构造复合对合 $t \circ * \circ \mathcal{F}$。
• 利用超凯勒矩映射和 quiver 表示结构，证明该对合的固定点集即为 SO(n)/Sp(n/2) 框架瞬子的模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 ALE 空间上 U(n) 瞬子的 ADHM 构造推广，以描述 SO(n) 和 Sp(n/2) 瞬子？
• RQ2 由最长 Weyl 群元素诱导的图自同构 $*$ 在关联对偶瞬子模空间中起什么作用？
• RQ3 反射函子 $\mathcal{F}$ 如何促进 $\zeta$ 与 $-\zeta$ 的 ADHM 数据之间的转换？
• RQ4 复合对合 $t \circ * \circ \mathcal{F}$ 在 U(n) 瞬子模空间上的固定点集具有何种精确的几何与代数结构？
• RQ5 模空间的 Uhlenbeck 部分紧化能否装备上扩展的对合？固定点集是否仍保持良好定义？

主要发现

• ALE 空间 $X_\zeta$ 上 SO(n)/Sp(n/2) 框架瞬子的模空间同构于 U(n) 瞬子模空间上对合 $t \circ * \circ \mathcal{F}$ 的固定点集。
• 对合 $t \circ * \circ \mathcal{F}$ 在 Uhlenbeck 部分紧化 $\mathfrak{M}_\zeta(\mathbf{v},\mathbf{w})$ 上良好定义，使同构关系可延拓至紧化情形。
• 固定点集继承了超凯勒流形的结构，在代数几何设定下成为拟射概形。
• 该构造依赖于图自同构 $*$、反射函子 $\mathcal{F}$ 和转置 $t$ 之间的相互作用，双线性型的符号决定了规范群的类型（SO 或 Sp）。
• 对于 $D_\ell$ 且 $\ell$ 为奇数的情形，对合 $*$ 交换 Dynkin 图的两个“尾部”，由此确定的表示结构决定了 $\rho_i \cong \rho_i^*$ 的正交/辛性质。
• 该方法不需超出 [KN90] 和 [Nak03] 的新输入，结果虽未给出证明，但依赖于超凯勒几何与 quiver 丛中已建立的工具。