[论文解读] Quiver varieties and symmetric pairs

Yiqiang Li|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 49被引用 3

一句话总结

本文引入了 $σ$-quiver 变体作为 Nakajima quiver 变体在辛和反辛对合下的不动点子簇，为表示理论中的对称对建立了几何框架。证明了 A 型 $σ$-quiver 变体实现了经典群的幂零 Slodowy 截面的部分 Springer 滞留，揭示了矩形对称性，并细化了 Kraft-Procesi 的约化。

ABSTRACT

We study fixed-point loci of Nakajima varieties under symplectomorphisms and their anti-symplectic cousins, which are compositions of a diagram automorphism, a reflection functor and a transpose defined by certain bilinear forms. These subvarieties provide a natural home for geometric representation theory of symmetric pairs. In particular, the cohomology of a Steinberg-type variety of the symplectic fixed-point subvarieties is conjecturally related to the universal enveloping algebra of the subalgebra in a symmetric pair. The latter symplectic subvarieties are further used to construct geometrically an action of a twisted Yangian on torus equivariant cohomology of Nakajima varieties. In type $A$ case, these subvarieties provide a quiver model for partial Springer resolutions of nilpotent Slodowy slices of classical groups and associated symmetric spaces, which leads to a rectangular symmetry and a refinement of Kraft-Procesi row/column removal reductions.

研究动机与目标

• 使用 Nakajima quiver 变体在辛和反辛对合下的不动点子簇，发展对称对 $(\mathfrak{g}, \mathfrak{k})$ 的几何表示理论。
• 建立 $\sigma$-quiver 变体中 Steinberg 型簇的上同调与对称对中李子代数 $\mathfrak{k}$ 的通用包络代数之间的联系。
• 通过这些子簇，构造扭 Yangian 在 Nakajima 变体的环面等变上同调上的几何作用。
• 为经典群及其对称空间中幂零 Slodowy 截面的部分 Springer 滞留提供 quiver 模型，尤其在 A 型情形。
• 在对称空间的几何中揭示新的对称性与约化——矩形对称性与精细的列/行移除——。

提出的方法

• 将辛对合 $\sigma$ 定义为图自同构、反射函子和由 quiver 数据上的双线性型诱导的转置的复合。
• 将 $\sigma$-quiver 变体构造为 Nakajima quiver 变体 $\mathfrak{P}_\zeta(\mathbf{v}, \mathbf{w})$ 内的不动点子簇 $\mathfrak{P}_\zeta(\mathbf{v}, \mathbf{w})^{\sigma}$。
• 使用对合的 $\hat{\sigma}$-版本来定义 $\hat{\sigma}$-quiver 变体，并通过 $\widetilde{V}_i$ 上的非退化双线性型 $\{-|\cdot\}$ 将其与对称空间 $\mathfrak{p}$ 中的幂零 Slodowy 截面联系起来。
• 通过交换图将 $\sigma$-quiver 变体与 $\mathcal{S}^{\hat{\sigma}}_{\mu', \lambda}$（部分 Springer 滞留的 $\hat{\sigma}$-不动点部分）相联系。
• 证明 $\mathrm{G}^{\tau}_{\mathbf{v}}$-不变正则函数代数在 $\mathbf{M}(\mathbf{v}, \mathbf{w})^{\hat{\tau}}$ 上由迹函数 $\mathrm{tr}_{h_1,\dots,h_s}(-)$ 和特征函数 $\chi_{h_1,\dots,h_s}(-)$ 生成。
• 利用 Kostant-Sekiguchi-Vergne 对应关系，将 $\sigma$-quiver 变体的几何与实李群中的幂零轨道联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Nakajima quiver 变体在辛和反辛对合下的不动点子簇如何作为对称对的几何模型？
• RQ2 $\sigma$-quiver 变体中 Steinberg 型簇的上同调与 $\mathfrak{k}$ 的通用包络代数之间有何关系？
• RQ3 $\sigma$-quiver 变体能否实现经典群及其对称空间中幂零 Slodowy 截面的部分 Springer 滞留？
• RQ4 在 $\sigma$-quiver 变体的几何中，特别是在 A 型情形下，出现了哪些新的对称性或约化？
• RQ5 $\hat{\sigma}$-不动点子簇如何与 $\mathfrak{g}$ 的实形式中幂零轨道的几何相关联？

主要发现

• A 型 $\sigma$-quiver 变体微分同胚于经典群的幂零 Slodowy 截面的部分 Springer 滞留，推广了 Nakajima-Maffei 定理。
• 建立了矩形对称性：若分拆可嵌入矩形中，则对应的 $\sigma$-quiver 变体彼此微分同胚，细化了先前结果。
• 在对称空间设定下，列/行移除约化被进一步精细化，扩展了 Kraft 和 Procesi 的结果。
• $\hat{\sigma}$-不动点子簇 $\widetilde{\mathcal{S}}^{\hat{\sigma}}_{\mu', \lambda}$ 通过涉及 $\pi^{\hat{\sigma}}$ 和 $\hat{\Pi}$ 的交换图与 $\sigma$-quiver 变体相联系。
• $\mathrm{G}^{\tau}_{\mathbf{v}}$-不变函数代数在 $\mathbf{M}(\mathbf{v}, \mathbf{w})^{\hat{\tau}}$ 上由沿路径的迹函数与特征函数生成。
• 通过 Kostant-Sekiguchi 对应关系，$\sigma$-quiver 变体的几何微分同胚于实李群中的幂零 Slodowy 截面。