[论文解读] Integrability and reduction of Poisson group actions
该论文通过为作用构造一个辛双群胚并基于一个矩映射执行Mikami-Weinstein型约化，证明了在自由且完备的泊松群作用下，商泊松流形的可积性。关键结果为：若一个完备泊松群自由且真地作用于一个可积泊松流形上，则其商流形也是可积的，且通过约化双李群胚结构显式构造出一个辛群胚。
In this paper we study Poisson actions of complete Poisson groups, without any connectivity assumption or requiring the existence of a momentum map. For any complete Poisson group $G$ with dual $G^\star$ we obtain a suitably connected integrating symplectic double groupoid $\calS$. As a consequence, the cotangent lift of a Poisson action on an integrable Poisson manifold $P$ can be integrated to a Poisson action of the symplectic groupoid $\poidd{\calS}{G^\star}$ on the symplectic groupoid for $P$. Finally, we show that the quotient Poisson manifold $P/G$ is also integrable, giving an explicit construction of a symplectic groupoid for it, by a reduction procedure on an associated morphism of double Lie groupoids.
研究动机与目标
- 解决关于自由且完备泊松群作用下可积泊松流形商流形是否仍可积的开放问题。
- 通过为任意完备泊松群构造辛双群胚，而不依赖连通性假设，扩展泊松群的可积性理论。
- 通过将泊松群作用提升至辛双群胚并基于双李群胚的矩映射执行约化，推广Xu的约化程序。
- 提供一种函子性、几何化的商泊松结构辛群胚构造方法，即使在无动量映射时也适用。
提出的方法
- 利用G与它的对偶G*之间的对偶性，将任意完备泊松群G积分到一个辛双群胚S，推广Lu与Weinstein的结果至非单连通群。
- 将泊松流形P上泊松G作用的余切提升，提升为S在P的辛群胚上的泊松作用。
- 通过提升的作用构造一个辛群胚之间的矩映射J: Λ → G*，其中Λ是P的辛群胚。
- 对J的核执行Mikami-Weinstein约化，利用J⁻¹(e*)上的G作用，构造P/G的辛群胚。
- 证明约化空间J⁻¹(e*)/G是光滑的，并携带一个唯一的辛形式ω̲，使得pr*ω̲ = ι*ω，从而成为P/G的辛群胚。
- 利用Cattaneo-Felder与Crainic-Fernandes的李代数胚同伦提升与可积性条件，确保光滑性与可积性。
实验结果
研究问题
- RQ1在何种条件下，自由且完备泊松群作用下可积泊松流形的商流形仍可积？
- RQ2泊松群作用的余切提升能否被积分至基流形辛群胚上的泊松作用？
- RQ3是否存在一种通用的辛群胚约化程序，可在无需动量映射的情况下构造出商泊松结构的辛群胚？
- RQ4能否在不假设群的0-或1-连通性条件下，建立完备泊松群的可积性？
- RQ5双李群胚的矩映射如何与Xu及Fernandes-Ortega-Ratiu的经典约化程序相联系？
主要发现
- 任何完备泊松群G均可积分至一个辛双群胚S，推广了Lu与Weinstein的结果至非单连通群。
- 泊松流形P上泊松G作用的余切提升可被积分至P的辛群胚Λ上S的泊松作用。
- 商泊松流形P/G是可积的，其辛群胚结构由矩映射J: Λ → G*的约化给出。
- 约化空间J⁻¹(e*)/G是光滑的，并携带一个唯一的辛形式ω̲，使得pr*ω̲ = ι*ω，因此构成P/G的辛群胚。
- 该构造推广并强化了Xu的约化程序，表明商流形始终光滑；并将其扩展至泊松群作用设定下的Fernandes-Ortega-Ratiu积分结果。
- 通过适当的行动双李群胚，建立了与完备泊松群作用相关的动作LA-群胚的可积性。
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