[论文解读] Integrating Poisson manifolds via stacks

Hsian‐Hua Tseng, Chenchang Zhu|ArXiv.org|Nov 17, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 16

一句话总结

本文引入辛 Weinstein群丛作为解决泊松流形可积性问题的方案，将经典辛群丛的概念扩展至李代数丛 $T^*M$ 不可积的情形。通过微分流形栈与 Weinstein 群丛，作者证明了每个泊松流形均存在一个辛 Weinstein 群丛，建立了辛 Weinstein 群丛与基流形上泊松结构之间的一一对应关系。

ABSTRACT

A symplectic groupoid $G.:=(G_1 ightrightarrows G_0)$ determines a Poisson structure on $G_0$. In this case, we call $G.$ a symplectic groupoid of the Poisson manifold $G_0$. However, not every Poisson manifold $M$ has such a symplectic groupoid. This keeps us away from some desirable goals: for example, establishing Morita equivalence in the category of all Poisson manifolds. In this paper, we construct symplectic Weinstein groupoids which provide a solution to the above problem (Theorem ef{main}). More precisely, we show that a symplectic Weinstein groupoid induces a Poisson structure on its base manifold, and that to every Poisson manifold there is an associated symplectic Weinstein groupoid.

研究动机与目标

• 为解决泊松流形的可积性问题，即当关联的李代数丛 $T^*M$ 不可积时，经典辛群丛不存在的问题。
• 通过引入更广义的对象类，将经典辛群丛与可积泊松流形之间的对应关系推广至所有泊松流形。
• 建立一个基于微分流形栈与 Weinstein 群丛的框架，实现对任意李代数丛（包括不可积者）的全局积分。
• 证明每个泊松流形均存在一个辛 Weinstein 群丛，其源映射为泊松映射，从而在基流形上恢复泊松结构。
• 刻画辛 Weinstein 群丛与经典源单连通辛群丛一致的条件，即当 $T^*M$ 可积时。

提出的方法

• 将辛 Weinstein 群丛构造为配备乘法辛形式的栈，将经典辛群丛推广至不可积情形。
• 利用李代数丛 $A$ 的 $A$-路径空间构造一个拓扑群丛，再通过添加额外结构形成 Weinstein 群丛。
• 应用微分流形栈理论，定义能捕捉泊松流形几何与辛结构数据的全局对象。
• 从 Weinstein 群丛 $\mathcal{G}$ 定义一个局部辛群丛 $G_{\text{loc}}$，证明 $\mathcal{G}$ 上的辛形式诱导出 $G_{\text{loc}}$ 上的乘法辛形式。
• 通过局部模型证明其上拉映射保持泊松括号，从而证明辛 Weinstein 群丛的源映射 $\bar{\mathbf{s}}$ 是泊松映射。
• 依赖于 $T^*M$ 上的典范辛形式 $\omega_c$ 及其在路径空间上的上拉，构造 Weinstein 群丛上的辛结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当关联的李代数丛 $T^*M$ 不可积时，每个泊松流形是否仍可积分化为辛群丛？
• RQ2 为使 $A$-路径空间成为不可积李代数丛的全局积分对象，需添加何种结构？
• RQ3 经典辛群丛与泊松流形之间的对应关系应如何推广至所有泊松流形？
• RQ4 在何种条件下，辛 Weinstein 群丛与经典源单连通辛群丛一致？
• RQ5 能否从 Weinstein 群丛上的辛结构唯一恢复基流形上的泊松结构？

主要发现

• 每个泊松流形 $M$ 均存在一个辛 Weinstein 群丛 $\mathcal{G}\rightrightarrows M$，从而在栈范畴中解决了可积性问题。
• 辛 Weinstein 群丛的源映射 $\bar{\mathbf{s}}$ 是泊松映射，且 $M$ 上的泊松结构由 $\mathcal{G}$ 上的辛形式唯一确定。
• 当李代数丛 $T^*M$ 可积时，辛 Weinstein 群丛 $\mathcal{H}(T^*M)$ 是可表示的，且与 $M$ 的经典源单连通辛群丛一致。
• 辛 Weinstein 群丛的构造依赖于 $T^*M$ 上的典范辛形式及其在 $A$-路径空间上的上拉，后者在 étale 表示上诱导出 $\Gamma$-不变的辛形式。
• 辛形式在 Weinstein 群丛上的乘法性源于典范形式沿路径积分的可加性，确保与群丛乘法相容。
• 栈 $\mathcal{X}$ 上的泊松括号定义良好且在表示变换下不变，如在群丛同态下满足 $J_H^*\omega_H = J_G^*\omega_G$ 所示。