[论文解读] Integrability properties of some symmetry reductions

H. Baran, I. S. Krasil’shchik+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究了三维Lax可积方程的可积性特征在对称性约化为二维系统时的变换方式。通过约化零曲率表示（ZCR），作者构建了类似于Gibbons-Tsarev方程的非线性微分覆盖，利用这些覆盖生成了无限层级的非局部守恒律，并证明了其非平凡性。关键的是，他们表明对称性的递归算子在约化过程中无法保持不变。

ABSTRACT

In our recent paper [H. Baran, I.S. Krasil'shchik, O.I. Morozov, P. Voj{č}{á}k, Symmetry reductions and exact solutions of Lax integrable $3$-dimensional systems, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, Vol. 21, No. 4 (December 2014), 643--671; arXiv:1407.0246 [nlin.SI], DOI: 10.1080/14029251.2014.975532}], we gave a complete description of symmetry reduction of four Lax-integrable (i.e., possessing a zero-curvature representation with a non-removable parameter) $3$-dimensional equations. Here we study the behavior of the integrability features of the initial equations under the reduction procedure. We show that the ZCRs are transformed to nonlinear differential coverings of the resulting 2D-systems similar to the one found for the Gibbons-Tsarev equation in [A.V. Odesskii, V.V. Sokolov, Non-homogeneous systems of hydrodynamic type possessing Lax representations, arXiv:1206.5230, 2006]. Using these coverings we construct infinite series of (nonlocal) conservation laws and prove their nontriviality. We also show that the recursion operators are not preserved under reductions.

研究动机与目标

• 分析三维Lax可积PDE的可积性特征在约化为二维系统时的行为。
• 从三维系统的约化零曲率表示（ZCR）出发，构建非线性微分覆盖。
• 为约化后的二维方程生成无限层级的非局部守恒律，并证明其非平凡性。
• 研究对称性递归算子在约化过程中的行为。
• 通过覆盖理论阐明广义Gibbons-Tsarev方程与可积三维系统之间的结构关系。

提出的方法

• 通过特定对称性对三个三维方程——通用族方程、三维rdDym方程和Pavlov方程的Lax对（零曲率表示）进行约化。
• 推导形式为 $ w_x = \frac{a_2 w^2 + a_1 w + a_0}{w^2 + c_1 w + c_0} $, $ w_y = \frac{b_2 w^2 + b_1 w + b_0}{w^2 + c_1 w + c_0} $ 的非线性微分覆盖，其中系数依赖于 $x, y, u, u_x, u_y$。
• 应用一种通用构造方法，从这些覆盖生成无限系列的非局部守恒律。
• 利用微分覆盖理论和通过变分双复形实现的非平凡性概念，验证守恒律。
• 分析三维系统中对称性递归算子的行为，并证明其无法约化至二维约化方程。
• 使用Jets软件计算对称代数，并验证约化系统结构性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维Lax可积方程的零曲率表示在对称性约化为二维系统时如何变换？
• RQ2 能否系统地为约化后的二维方程构建非线性微分覆盖，且其形式是否类似于已知的Gibbons-Tsarev方程覆盖？
• RQ3 约化后的系统是否具有无限层级的非局部守恒律，且这些守恒律是否非平凡？
• RQ4 原始三维系统中对称性的递归算子在约化过程中是否保持不变？
• RQ5 从可积性和覆盖理论的角度看，约化后的二维方程与广义Gibbons-Tsarev方程之间存在何种结构关系？

主要发现

• 三个三维方程的零曲率表示约化后，得到形式为 $ w_x = \frac{a_2 w^2 + a_1 w + a_0}{w^2 + c_1 w + c_0} $, $ w_y = \frac{b_2 w^2 + b_1 w + b_0}{w^2 + c_1 w + c_0} $ 的非线性微分覆盖，其中系数依赖于 $x, y, u, u_x, u_y$。
• 这些覆盖使得每个约化后的二维系统均可构造出无限层级的非局部守恒律。
• 通过变分双复形和相关上同调类的非退化性，证明了通过覆盖方法生成的守恒律是非平凡的。
• 原始三维系统中对称性的递归算子无法约化至约化后的二维方程，表明该可积性结构在约化过程中发生破坏。
• 约化后的系统，包括Gibbons-Tsarev方程和Liouville方程，通过覆盖继承了可积性特征，但并非通过递归算子。
• 本研究证实了广义Gibbons-Tsarev方程与三维可积系统之间存在结构联系，其依据是两者具有相同形式的微分覆盖。