[论文解读] Integrable and proper actions on C*-algebras, and square-integrable representations of groups

Marc A. Rieffel|ArXiv.org|Sep 17, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文引入了局部紧群在C*-代数上的适当作用的概念，将其推广至经典局部紧空间上的作用。研究发现，对于由酉群表示生成的紧算子代数上的作用，该框架能自然地刻画平方可积表示，且当C*-代数为交换时，广义固定点代数与交叉积中的一个理想强莫代尔等价。

ABSTRACT

We propose a definition of what should be meant by a {\it proper} action of a locally compact group on a C*-algebra. We show that when the C*-algebra is commutative this definition exactly captures the usual notion of a proper action on a locally compact space. We then discuss how one might define a {\it generalized fixed-point algebra}. The goal is to show that the generalized fixed-point algebra is strongly Morita equivalent to an ideal in the crossed product algebra, as happens in the commutative case. We show that one candidate gives the desired algebra when the C*-algebra is commutative. But very recently Exel has shown that this candidate is too big in general. Finally, we consider in detail the application of these ideas to actions of a locally compact group on the algebra of compact operators (necessarily coming from unitary representations), and show that this gives an attractive view of the subject of square-integrable representations.

研究动机与目标

• 将局部紧空间上适当群作用的概念推广至C*-代数，确保当代数为交换时与经典情形一致。
• 为此类作用定义广义固定点代数，并在交叉积框架内研究其结构性质。
• 探讨可积作用与适当作用在平方可积群表示理论中的联系。
• 确定所提出的广义固定点代数构造是否与交叉积代数中的一个理想强莫代尔等价。
• 考察由酉群表示诱导的紧算子代数上的作用这一特殊情况，作为理论的具体实现。

提出的方法

• 通过在交叉积中存在一个在对偶共作用下不变的严格正元素，提出C*-代数上适当作用的定义。
• 应用诱导表示与交叉积理论，分析广义固定点代数的结构。
• 利用局部紧群的对偶理论，将固定点构造与群的表示理论联系起来。
• 将平方可积表示的概念应用于由酉表示诱导的紧算子代数上的作用，表明这些表示自然地由此类作用产生。
• 证明在交换情形下，所提出的广义固定点代数构造生成的代数与交叉积代数中的一个理想强莫代尔等价。
• 结合Exel后续工作中的修正，承认原始的广义固定点代数候选者在一般情形下过大，尽管在交换情形下仍成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将局部紧空间上的适当群作用概念推广至C*-代数的设定？
• RQ2 能否为此类作用定义一个广义固定点代数，使其与交叉积代数中的一个理想强莫代尔等价？
• RQ3 C*-代数上的可积作用与适当作用如何与平方可积群表示理论相联系？
• RQ4 紧算子代数在通过群作用实现平方可积表示的过程中起什么作用？
• RQ5 在非交换设定下，特别是考虑到Exel的后续发现，所提出的固定点构造行为如何？

主要发现

• 所提出的C*-代数上适当作用的定义在代数为交换时退化为经典概念。
• 对于交换C*-代数，广义固定点代数构造生成的代数与交叉积代数中的一个理想强莫代尔等价。
• 由局部紧群在紧算子代数上的作用（由酉表示诱导）为研究平方可积表示提供了自然的设定。
• 该框架通过适当作用与交叉积的视角，统一了平方可积表示的理论。
• Exel的后续结果表明，原始的广义固定点代数候选者在一般情形下过大，尽管在交换情形下仍有效。
• 本文通过可积与适当作用的概念，建立了非交换几何、表示理论与算子代数之间的基础联系。