[论文解读] Integrable crystals and restriction to Levi via generalized slices in the affine Grassmannian

Vasily Krylov|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过朗兰兹对偶群 $\check{G}$ 的仿射格拉斯曼流形中的广义横截切片，构造了半单群 $G$ 的可积晶体。通过乘法切片和双曲局部化等几何操作，实现了张量积结构与 Levi 限制。该研究为晶体结构与表示论提供了基于 perverse 她aves 和切片上上同调的几何实现。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected reductive algebraic group over $\mathbb{C}$. Let $Λ^{+}_{G}$ be the monoid of dominant weights of $G$. We construct the integrable crystals $\mathbf{B}^{G}(λ),\ λ\inΛ^{+}_{G}$, using the geometry of generalized transversal slices in the affine Grassmannian of the Langlands dual group. We construct the tensor product maps $\mathbf{p}_{λ_{1},λ_{2}}\colon \mathbf{B}^{G}(λ_{1}) \otimes \mathbf{B}^{G}(λ_{2}) ightarrow \mathbf{B}^{G}(λ_{1}+λ_{2})\cup\{0\}$ in terms of multiplication of generalized transversal slices. Let $L \subset G$ be a Levi subgroup of $G$. We describe the restriction to Levi $\operatorname{Res}^G_L\colon\operatorname{Rep}(G) ightarrow\operatorname{Rep}(L)$ in terms of the hyperbolic localization functors for the generalized transversal slices.

研究动机与目标

• 通过朗兰兹对偶群 $\check{G}$ 的仿射格拉斯曼流形中广义横截切片的几何结构，构造半单群 $G$ 的可积晶体 $\mathbf{B}^G(\lambda)$。
• 通过广义横截切片的乘法实现张量积映射 $\mathbf{p}_{\lambda_1,\lambda_2}: \mathbf{B}^G(\lambda_1) \otimes \mathbf{B}^G(\lambda_2) \to \mathbf{B}^G(\lambda_1 + \lambda_2) \cup \{0\}$。
• 通过广义横截切片上的双曲局部化函子，描述 Levi 子群 $L \subset G$ 的限制函子 $\operatorname{Res}^G_L: \operatorname{Rep}(G) \to \operatorname{Rep}(L)$。
• 通过上同调实现，建立 $\check{G}$ 的不可约表示与交集 $T_\mu \cap \overline{\operatorname{Gr}}^\lambda_G$ 的不可约分支之间的几何对应关系。

提出的方法

• 利用几何 Satake 同构，将 $\check{G}$ 的不可约表示识别为仿射格拉斯曼流形 $\operatorname{Gr}_G$ 上 $G(\mathcal{O})$-等变 perverse 她aves。
• 可积晶体被实现为不可约分支的并集 $\coprod_{\mu \in \Lambda_G} \operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)$，其中 $T_\mu$ 是由 $2\rho_G$ 导出的 $\mathbb{C}^*$-作用的吸引子簇。
• 张量积结构通过乘法映射 $\mathbf{m}: \operatorname{Gr}^{\lambda_1}_G \star \operatorname{Gr}^{\lambda_2}_G \to \operatorname{Gr}^{\lambda_1 + \lambda_2}_G$ 建模，其在切片上的诱导映射实现。
• 将双曲局部化函子应用于广义横截切片 $\overline{\mathcal{W}}^\lambda_\mu$，以计算权空间并实现向 Levi 子群的限制。
• 晶体结构通过切片及其在仿射格拉斯曼流形中闭包的几何定义的 Kashiwara 算子实现。
• 关键技术工具是识别 $\operatorname{F}_\mu(\operatorname{IC}(\lambda)) \simeq \mathbb{C}[\operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)]$，将上同调与分支的组合结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用其朗兰兹对偶群的仿射格拉斯曼流形，几何地构造半单群 $G$ 的可积晶体？
• RQ2 广义横截切片的几何乘法如何实现晶体上张量积结构？
• RQ3 广义切片上的双曲局部化函子如何编码从 $G$ 到 Levi 子群 $L \subset G$ 的表示限制？
• RQ4 晶体算子的几何起源是什么？其与张量积的相容性如何？
• RQ5 不可约表示的典范基能否通过 $T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G$ 的不可约分支实现？

主要发现

• 可积晶体 $\mathbf{B}^G(\lambda)$ 被自然实现为不可约分支的并集 $\coprod_{\mu \in \Lambda_G} \operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)$，晶体算子通过 $\mathbb{C}^*$-作用几何定义。
• 张量积映射 $\mathbf{p}_{\lambda_1,\lambda_2}$ 被实现为乘法映射 $\mathbf{m}$ 的推出，其中若像不是极大维数，则 $\mathbf{m}^{\lambda_1,\lambda_2}_{\mu_1,\mu_2}(\mathbf{b}) = 0$。
• 限制函子 $\operatorname{Res}^G_L$ 被实现为对广义横截切片 $\overline{\mathcal{W}}^\lambda_\mu$ 应用双曲局部化函子，从而提供表示限制的几何构造。
• $\mathbf{B}^G(\lambda)$ 上的晶体结构是封闭且与张量积相容的，这由涉及 $\overline{\bf{\kappa}}$、$\tau$ 和 $\overline{\mathbf{m}}$ 的交换图所证明。
• 广义横截切片的上同调实现了不可约表示的权空间：$\operatorname{F}_\mu(\operatorname{IC}(\lambda)) \simeq \mathbb{C}[\operatorname{Irr}(T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G)]$。
• 该构造通过 $T_\mu \cap \operatorname{Gr}^\lambda_G$ 的不可约分支，实现了 $V^\lambda_{\check{G}}$ 的典范基的几何实现，其中最高权向量对应于包含 $z^\lambda$ 的分支。