[论文解读] Integrable Systems and Classification of 2-Dimensional Topological Field Theories

Boris Dubrovin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1993

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用 54

一句话总结

该论文利用有理系数线性算子的单值性数据，对二维大质量拓扑共形场论（TCFTs）进行分类，建立WDVV方程与可积双哈密顿级数之间的联系，并表明WDVV是黎曼曲面上阿贝尔微分周期的通用可积方程系统。该研究进一步揭示了新的无限维Virasoro型代数，并通过双哈密顿形式提出其在高亏格修正中的应用。

ABSTRACT

In this paper we consider the so-called WDVV equations from the point of view of differential geometry and of the theory of integrable systems as defining relations of 2-dimensional topological field theory. A complete classification of massive topological conformal field theories (TCFT) is obtained in terms of the monodromy data of an auxiliary linear operator with rational coefficients. The procedure of coupling a TCFT to topological gravity is described (at tree level) via certain integrable bihamiltonian hierarchies of hydrodynamic type and their τ-functions. A possible role for the bihamiltonian formalism in the calculation of higher genus corrections is discussed. As a biproduct of this discussion, new examples of infinite dimensional Virasoro-type Lie algebras and their nonlinear analogues are constructed. As an algebro-geometrical application it is shown that WDVV is just the universal system of integrable differential equations (higher order analogue of the Painleve-VI equation) specifying the periods of the Abelian differentials on Riemann surfaces as functions on moduli of these surfaces.

研究动机与目标

• 通过几何与可积系统方法，对大质量二维拓扑共形场论（TCFTs）进行完整分类。
• 从微分几何与可积系统视角，确立WDVV方程在二维TCFT中作为定义关系的作用。
• 通过可积双哈密顿级数与τ函数，描述TCFT在树图层次上与拓扑重力的耦合。
• 探索双哈密顿形式在计算拓扑场论中高亏格修正方面的潜力。
• 在分析过程中揭示新的无限维李代数及其非线性类比。

提出的方法

• 利用具有有理系数的辅助线性算子的单值性数据，对大质量TCFTs进行分类。
• 应用流体类型可积双哈密顿级数理论，对TCFT在树图层次上与拓扑重力的耦合进行建模。
• 利用与这些级数相关的τ函数来描述耦合过程。
• 将WDVV方程分析为控制黎曼曲面上阿贝尔微分周期的通用可积系统。
• 从可积系统的结构中推导出新的无限维Virasoro型李代数及其非线性类比。
• 使用代数几何技术，将WDVV与黎曼曲面的模空间联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用线性系统的单值性数据，对大质量二维拓扑共形场论进行完全分类？
• RQ2 在二维TCFT的可积系统与微分几何框架中，WDVV方程的确切作用是什么？
• RQ3 TCFT在树图层次上与拓扑重力的耦合，如何从双哈密顿级数与τ函数中自然涌现？
• RQ4 双哈密顿形式能否被扩展以计算拓扑场论中的高亏格修正？
• RQ5 从WDVV与TCFT的可积结构中，自然涌现出哪些新的无限维李代数？

主要发现

• 通过辅助有理系数线性算子的单值性数据，实现了对大质量二维TCFTs的完整分类。
• WDVV方程被确认为描述黎曼曲面模空间上阿贝尔微分周期的通用可积微分方程系统。
• TCFT在树图层次上与拓扑重力的耦合，通过可积双哈密顿级数及其相关τ函数得到了系统性描述。
• 提出双哈密顿形式作为计算拓扑场论中高亏格修正的可行框架。
• 作为WDVV方程底层可积结构的副产品，构建了新的无限维Virasoro型李代数及其非线性类比。
• 证明WDVV系统是黎曼曲面模空间背景下Painlevé VI方程的高阶类比。