[论文解读] Integrable systems and holomorphic curves

P. Rossi|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 14

一句话总结

本文建立了在 $S^1 \times M$ 上由辛场论（Symplectic Field Theory）导出的无穷维哈密顿系统与通过格罗莫夫-威滕理论从弗罗贝尼乌斯流形导出的系统的精确对应关系。结果表明，SFT 所产生的可积哈密顿层级与 $M$ 的量子上同调所关联的层级完全一致，该结论基于杜布罗文的形式化方法，通过递归与平坦联络，从基本类与除子公理等公理出发推导出哈密顿量。

ABSTRACT

In this paper we attempt a self-contained approach to infinite dimensional Hamiltonian systems appearing from holomorphic curve counting in Gromov-Witten theory. It consists of two parts. The first one is basically a survey of Dubrovin's approach to bihamiltonian tau-symmetric systems and their relation with Frobenius manifolds. We will mainly focus on the dispersionless case, with just some hints on Dubrovin's reconstruction of the dispersive tail. The second part deals with the relation of such systems to rational Gromov-Witten and Symplectic Field Theory. We will use Symplectic Field theory of $S^1 imes M$ as a language for the Gromov-Witten theory of a closed symplectic manifold $M$. Such language is more natural from the integrable systems viewpoint. We will show how the integrable system arising from Symplectic Field Theory of $S^1 imes M$ coincides with the one associated to the Frobenius structure of the quantum cohomology of $M$.

研究动机与目标

• 建立格罗莫夫-威滕理论中无穷维哈密顿系统的自洽框架。
• 通过量子上同调将 $S^1 \times M$ 上的辛场论可积系统与弗罗贝尼乌斯流形系统联系起来。
• 证明辛场论在 $S^1 \times M$ 上导出的哈密顿层级与闭辛流形 $M$ 的量子上同调所导出的层级一致。
• 通过基本类与除子公理等公理，递归推导出哈密顿量 $h_{\alpha,j}$。
• 证明由这些哈密顿量构造的 $J$-函数满足平坦联络条件，从而确认系统的可积性。

提出的方法

• 将形式环空间 $\mathcal{L} = \{u: S^1 \to \mathbb{R}^n\}$ 作为相空间，通过 $u$ 及其导数的微分多项式定义局部泛函。
• 通过形式 $\delta$-分布 $\delta^{(s)}(x-y)$ 定义泊松括号，结构常数 $a_s^{\alpha\beta}$ 受雅可比恒等式约束。
• 应用杜布罗文关于双哈密顿 $\tau$-对称系统的理论于弥散极限，同时提示弥散修正的存在。
• 利用基本类与除子公理，从格罗莫夫-威滕不变量推导出哈密顿量 $h_{\alpha,j}$，起始于 $h_{\alpha,-1} = \sum \eta_{\alpha\beta} t^\beta$。
• 利用分次与经典上杯积数据构造 $J$-函数 $J_\alpha(t,\zeta) = h_\alpha(t,\zeta) \zeta^\mathcal{V} \zeta^R$。
• 证明 $J$-函数满足 $H^*(M) \times \mathbb{C}^*$ 上的形变平坦联络 $\tilde{\nabla}$，其中 $\tilde{\nabla}_X Y = X^\alpha \partial_\alpha Y + \zeta X \star Y$ 且 $\tilde{\nabla}_{\partial_\zeta} Y = \partial_\zeta Y - \frac{1}{2} E \star Y - \frac{1}{\zeta} \mathcal{V} Y$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S^1 \times M$ 上的辛场论所导出的可积系统是否与 $M$ 的量子上同调所导出的系统一致？
• RQ2 $M$ 的格罗莫夫-威滕不变量如何生成满足可积偏微分方程的哈密顿量？
• RQ3 哈密顿量 $h_{\alpha,j}$ 是否能通过基本类与除子公理的递归关系完全重构？
• RQ4 欧拉向量场 $E$ 与矩阵 $R$ 在保证 $J$-函数的齐次性与平坦性方面起什么作用？
• RQ5 $J$-函数是否为 $H^*(M) \times \mathbb{C}^*$ 上形变平坦联络 $\tilde{\nabla}$ 的平坦截面？

主要发现

• 在 $S^1 \times M$ 上的 SFT 所导出的哈密顿层级与由 $M$ 的量子上同调的弗罗贝尼乌斯流形结构所导出的层级同构。
• 哈密顿量 $h_{\alpha,j}$ 由基本类公理 $\partial_1 h_{\alpha,j} = h_{\alpha,j-1}$ 与除子公理递归确定，起始于 $h_{\alpha,-1} = \sum \eta_{\alpha\beta} t^\beta$。
• 生成函数 $h_\alpha(t,\zeta) = \sum_{k=0}^\infty h_{\alpha,k-1}(t) \zeta^k$ 以 $\langle \frac{\Delta_\alpha}{1 - \zeta \psi}, t, \ldots, t \rangle_0^A z^A$ 的形式编码格罗莫夫-威滕不变量。
• $J$-函数 $J_\alpha(t,\zeta) = h_\alpha(t,\zeta) \zeta^\mathcal{V} \zeta^R$ 满足形变平坦联络 $\tilde{\nabla}$，从而确认了系统的可积性。
• $\tilde{\nabla}$ 的平坦性等价于由公理导出的齐次性与递归条件，其中 $\mathcal{V}$ 与 $R$ 分别编码分次与陈类数据。
• 该系统完全由量子上同调环及其弗罗贝尼乌斯结构决定，且 $J$-函数作为 $\tilde{\nabla}$ 下的平坦截面。