[论文解读] Stable maps to rational curves and the relative Jacobian

Steffen Marcus, Jonathan Wise|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 25

一句话总结

本文建立了紧致类型曲线模空间上两个几何循环之间的基本等价性：相对稳定映射到一个弹性有理目标的虚拟基本类的推出与通过与相对雅可比的零截面相交得到的双 ramification 循环。关键结果确认了这些循环在整个紧致类型子簇上一致，将先前仅限于有理尾曲线的结果推广至整个紧致类型子簇，并统一了双 ramification 循环的两种主要构造方法。

ABSTRACT

We consider two cycles on the moduli space of compact type curves and prove that they coincide. The first is defined by pushing forward the virtual fundamental classes of spaces of relative stable maps to an unparameterized rational curve, while the second is obtained as the intersection of the Abel section of the universal Jacobian with the zero section. Our comparison extends results of Cavalieri-Marcus-Wise where the same identity was proved over on the locus of rational tails curves.

研究动机与目标

• 在紧致类型曲线的模空间上，建立两个自然循环类之间的几何比较。
• 将已知的双 ramification 循环与虚拟基本类推出在有理尾子簇上的吻合关系，推广至整个紧致类型子簇。
• 统一双 ramification 循环的两种不同构造方法：一种通过到弹性目标的相对稳定映射，另一种通过相对雅可比上的交点理论。
• 在代数几何中，为系痕类与双赫尔维茨数的研究提供一个基础性的比较框架。

提出的方法

• 通过在每个分量上使用度数为零的线丛，并借助边界除子进行调整，在紧致类型曲线的模空间上构造了通用相对雅可比的典范截面。
• 利用弹性目标 $\mathscr{P} = [\mathbb{P}^1 / \mathbf{G}_m]$ 的模形式解释，定义具有指定分支特征的相对稳定映射。
• 应用 Costello 的虚拟拉回定理，将相对稳定映射模空间的虚拟基本类与交点循环联系起来。
• 建立一个交换图，将相对稳定映射的模空间与相对雅可比及零截面联系起来，表明双 ramification 循环是纤维积的结果。
• 通过利用边界除子对每个分量上度数为零的线丛进行归纳构造，实现度数的调整。
• 依赖于除子 $f^{-1}(\mathscr{D}_+^{\exp}) - f^{-1}(\mathscr{D}_-^{\exp})$ 所关联的线丛仅在边界分量上与典范截面不同，从而确保构造的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对稳定映射到弹性有理曲线的虚拟基本类推出与双 ramification 循环是否在整个紧致类型子簇上一致？
• RQ2 经典上通过相对雅可比定义的双 ramification 循环，能否作为相对稳定映射模空间的推出被几何实现？
• RQ3 此前仅在有理尾子簇上已知的两种循环构造之间的吻合关系，是否可推广至更大的紧致类型子簇？
• RQ4 边界除子的调整如何实现紧致类型曲线上相对雅可比的良定义截面？

主要发现

• 虚拟基本类推出 $\Pi_*[\overline{M}^{\rm ct}(\mathscr{P}/\mathcal{B}\mathbf{G}_m)]^{\rm vir}$ 在紧致类型曲线的模空间上等于双 ramification 循环 $\mathbf{DR}$。
• 两种构造之间的吻合关系在 $\overline{M}^{\rm ct}$ 上普遍成立，将 [CMW12] 的结果从有理尾子簇推广至整个紧致类型子簇。
• 通过边界除子调整 $\mathcal{O}_C(\sum x_i p_i)$ 构造的相对雅可比典范截面，给出了每个分量上度数为零的良定义且唯一的线丛。
• 该截面的构造与相对稳定映射结构相容，确保在考虑边界分量调整后，两个到相对雅可比的映射一致。
• 涉及 $\overline{M}^{\rm ct}(\mathscr{P}/\mathcal{B}\mathbf{G}_m)$、零截面与相对雅可比的交换图，确认双 ramification 循环是纤维积，从而验证了其几何对应关系。
• 该结果为通过稳定映射模空间与雅可比交点理论，统一研究双赫尔维茨数与系痕类提供了框架。