[论文解读] Integral models of Harish-Chandra modules of the finite covering groups of PU(1,1)

Takuma Hayashi|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文使用上同调诱导和在交换环上的实Parabolic诱导，特别是 Z[1/2]，计算了 PU(1,1) 的有限覆盖群的 Harish-Chandra 模的积分模型。它建立了在 $\mathbb{C}[z]$ 和 $\mathbb{C}[z^{\pm1}]$ 上的自由秩-1 模上的诱导函子 $I^{\frak{g},K}_{\frak{q},M}$ 的显式公式，证明了基变换同构，并确定了诱导模保持积分性或消失的条件。

ABSTRACT

We compute integral models of real and cohomological induction for finite covering groups of PU(1,1).

研究动机与目标

• 计算 PU(1,1) 覆盖群在交换环上的 Harish-Chandra 模的显式积分模型。
• 研究诱导函子 $I^{\frak{g},K}_{\frak{q},M}$ 在 $\mathbb{C}[z]$-模上应用时，何时保持积分性与基变换性质。
• 在 $\mathbb{Z}$ 上构造 Harish-Chandra 对的分裂积分形式，并对其进行分类。
• 确定诱导模在 $\mathbb{C}[z]$ 上保持自由或消失的条件。
• 在该积分设定中构造平坦基变换定理的反例，并澄清其在积分表示论中的适用范围。

提出的方法

• 使用分裂环 $T^1$ 作为 $\mathbb{Z}$ 上的极大紧子群，构造 PU(1,1) 有限覆盖的 Harish-Chandra 对的积分模型。
• 将函子 $I^{\frak{g},K}_{\frak{q},M}$ 应用于 $\mathbb{C}[z]$-模的自由秩-1 模，特别是 $\mathbb{C}[z]_{n\epsilon,\mu}$，以计算诱导模。
• 使用 Hecke 代数形式化方法和相对 Hecke 代数，将 $(\frak{g},K)$-模视为近似单位元代数上的模。
• 通过从 $\mathbb{C}[z]$ 到 $\mathbb{C}[z^{\pm1}]$ 的扩张标量，利用基变换同构关联积分模型与有理模型。
• 应用 Koszul 复形，构造标准投射/内射解析式，以显式计算上同调函子。
• 利用收缩族构造，通过同构 $\Phi$ 将 $\mathbb{Z}[z]$-族中不同层级的 Harish-Chandra 对联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $I^{\frak{g},K}_{\frak{q},M}$ 作用于 $\mathbb{C}[z]$-模时，在何种条件下保持积分性？
• RQ2 诱导模 $I^{\frak{g},K}_{\frak{q},M}(\mathbb{C}[z]_{n\epsilon,\mu})$ 何时同构于其在 $\mathbb{C}[z^{\pm1}]$ 上的基变换？
• RQ3 对于哪些 $\mu \in \mathbb{C}[z]$，诱导模消失？何时其在一般情况下不可约？
• RQ4 能否在此积分设定中构造平坦基变换定理的反例？
• RQ5 PU(1,1) 覆盖群的 Harish-Chandra 对的分裂积分形式与收缩族构造有何关系？

主要发现

• 当 $\mu \in \mathbb{C}[z] \setminus z\mathbb{C}[z]$ 时，诱导模 $I^{\frak{sl}_2,T^1}_{\frak{q},M_{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[z^{\pm1}]}(\mathbb{C}[z^{\pm1}]_{n\epsilon,\mu})$ 作为 $\mathbb{C}[z]$-模同构于 $\oplus_{p\in\mathbb{Z}} \mathbb{C}[z]w^{n(p+\epsilon)}$。
• 基变换同构 $I^{\frak{sl}_2,T^1}_{\frak{q},M_{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[z]}(\mathbb{C}[z]_{n\epsilon,\mu}) \otimes_{\mathbb{C}[z]} \mathbb{C}[z^{\pm1}] \cong I^{\frak{sl}_2,T^1}_{\frak{q},M_{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[z^{\pm1}]}(\mathbb{C}[z^{\pm1}]_{n\epsilon,\mu})$ 对于 $\mu \in z\mathbb{C}[z]$ 成立，且无需 [10] 定理 3.1.7 中的条件。
• 若 $\mu \in \mathbb{C}[z] \setminus z\mathbb{C}[z]$，即 $\mu$ 为非零常数，则诱导模消失。
• 诱导模 $I^{\frak{sl}_2,T^1}_{\frak{q},M_{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[z^{\pm1}]}(\mathbb{C}[z^{\pm1}]_{n\epsilon,\mu})$ 同构于其共轭当且仅当 $\mu \in \mathbb{C}[z^{\pm1}]$。
• 该模在 $\overline{\mathbb{C}(z)}$ 上为一般不可约当且仅当 $\mu \notin 2z\mathbb{Z} \pm 2z\epsilon$。
• 通过收缩族构造和同构 $\Phi$ 构造 $\frak{q}$，可将定理 6.2(1) 与定理 5.10 关联，通过 $\mathbb{Z}[z]$-族将设定推广至更高层级的覆盖群。