[论文解读] Integral Points on Elliptic Curves and the Bombieri-Pila Bounds

Dave Mendes da Costa|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文通过利用高度理论、排斥技术以及大筛法，改进了非有理椭圆曲线上积分点的Bombieri-Pila界。对于一类大范围的椭圆曲线 $ y^2 = f(x) $，其中 $ f ∈ \mathbb{Z}[x] $ 为首一三次多项式，且对 $ c_4 $ 和 $ j $-不变量满足特定条件，证明了在大小为 $ N $ 的盒子中，积分点的数量为 $ O(N^{1/3 - \delta}) $，其中 $ \delta > 0 $，且该常数在所有曲线中一致。

ABSTRACT

Let C be an affine, plane, algebraic curve of degree d with integer coefficients. In 1989, Bombieri and Pila showed that if one takes a box with sides of length N then C can obtain no more than O_{d,ε}(N^{1/d+ε}) integer points within the box. Importantly, the implied constant makes no reference to the coefficients of the curve. Examples of certain rational curves show that this bound is tight but it has long been thought that when restricted to non-rational curves an improvement should be possible whilst maintaining the uniformity of the bound. In this paper we consider this problem restricted to elliptic curves and show that for a large family of these curves the Bombieri-Pila bounds can be improved. The techniques involved include repulsion of integer points, the theory of heights and the large sieve. As an application we prove a uniform bound for the number of rational points of bounded height on a general del Pezzo surface of degree 1.

研究动机与目标

• 改进非有理曲线（特别是椭圆曲线）上积分点的统一Bombieri-Pila界 $ O_{d,\epsilon}(N^{1/d + \epsilon}) $。
• 为一大类椭圆曲线建立关于 $ N $ 的统一次多项式界，即积分点数量的统一 $ O(N^{1 - \delta}) $ 估计，且该界独立于曲线的系数。
• 将这些界推广至一般一次度的 del Pezzo 曲面的有理点，实现统一的 $ O(N^{3 - \delta}) $ 估计。
• 通过构造非平凡的指数下降，证明Bombieri-Pila界对非有理曲线（尤其是椭圆曲线）并不紧致。

提出的方法

• 利用椭圆曲线上高度理论，特别是局部规范高度，分析积分点的分布。
• 应用积分点排斥法，表明点不能过于密集聚集，利用Mordell-Weil群的结构。
• 运用大筛不等式，控制位于等差数列或结构集合中的积分点数量。
• 将问题约化为对由一次度 del Pezzo 曲面特殊化得到的一族椭圆曲线 $ E_{(u,v)} $ 上的积分点计数。
• 对奇异纤维（判别式为零者）应用Bombieri-Pila界，证明其贡献可忽略，为 $ O(N^{1/12 + \epsilon}) $。
• 将非奇异纤维的改进界 $ O(N^{1 - \delta}) $ 与 $ (u,v) $ 的 $ O(N^2) $ 种选择相结合，推导出曲面上的最终统一界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bombieri-Pila界 $ O_{d,\epsilon}(N^{1/d + \epsilon}) $ 能否在非有理曲线上（特别是椭圆曲线）得到改进？
• RQ2 是否存在一个统一的指数 $ 1/3 - \delta $，使得椭圆曲线 $ y^2 = f(x) $ 上的积分点数量为 $ O(N^{1/3 - \delta}) $，且该界独立于曲线的系数？
• RQ3 能否利用椭圆曲线上改进后的界，推导出一般一次度 del Pezzo 曲面上有有界高度的有理点的统一界？
• RQ4 若存在非平凡的 $ j $-不变量和负的 $ c_4 $-不变量，是否能获得更强的统一界？

主要发现

• 对于满足 $ f \in \mathbb{Z}[x] $ 为首一三次多项式且无重根的椭圆曲线 $ y^2 = f(x) $，在大小为 $ N $ 的盒子中，积分点的数量为 $ O(N^{1/3 - \delta}) $，其中 $ \delta > 0 $，且隐含常数在所有此类曲线上一致。
• 在附加假设 $ c_4(E) < 0 $ 且 $ j(E) > \epsilon > 0 $ 下，界 $ O_\epsilon(N^{1/3 - \delta}) $ 成立，且 $ \delta $ 仅依赖于 $ \epsilon $，而不依赖于曲线本身。
• 在曲线族 $ E_{(u,v)} $ 中，奇异纤维（判别式为零者）的数量为 $ O_\epsilon(N^{1/12 + \epsilon}) $，与主项相比可忽略不计。
• 对于一般的一次度 del Pezzo 曲面 $ X $，高度 $ \leq N $ 的有理点数量为 $ O(N^{3 - \delta}) $，其中 $ \delta > 0 $，且隐含常数在 $ X $ 上一致。
• 相较于Bombieri-Pila界，本研究的改进是非平凡且统一的，表明该界对非有理曲线并不紧致。