[论文解读] Torsion points on elliptic curves with complex multiplication

Pete L. Clark, B. Cook+1 more|ArXiv.org|Jul 15, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 8

一句话总结

本文通过结合CM阶的类数和CM域中素数的分裂行为，改进了CM椭圆曲线在数域上关于素数阶扭点的界，证明了渐近最优的界。此外，还表明当$N$足够大时，$X_1(N)$存在有理CM点，其度数小于除有限多个非CM点外的所有点，从而在CM与非CM曲线的扭点分布之间建立了关键区别。

ABSTRACT

We present seven theorems on the structure of prime order torsion points on CM elliptic curves defined over number fields. The first three results refine bounds of Silverberg and Prasad-Yogananda by taking into account the class number of the CM order and the splitting of the prime in the CM field. In many cases we can show that our refined bounds are optimal or asymptotically optimal. We also derive asymptotic upper and lower bounds on the least degree of a CM-point on X_1(N). Upon comparison to bounds for the least degree for which there exist infinitely many rational points on X_1(N), we deduce that, for sufficiently large N, X_1(N) will have a rational CM point of degree smaller than the degrees of at least all but finitely many non-CM points.

研究动机与目标

• 改进现有关于CM椭圆曲线在数域上扭点最大素数阶的界。
• 将CM阶的类数和CM域中素数的分裂行为纳入扭点界中。
• 建立$X_1(N)$上CM点最小度数的渐近上界和下界。
• 比较$X_1(N)$上理性CM点与非CM点的最小度数，表明当$N$足够大时，CM点的度数可显著小于非CM点。
• 证明当$N$足够大时，CM点在度数最小性上可主导所有有理扭点。

提出的方法

• 使用梅滕斯乘积公式和等差级数中的素数定理，分析$N_n / \varphi(N_n)$的增长，其中$N_n$是满足$p \equiv 1 \pmod{3}$的素数的乘积。
• 通过分划的分立扩张构造数域$L_n$，使其次数为$d_n$，以实现具有大扭子群的CM椭圆曲线。
• 应用塞尔关于固定$j$-不变量下CM点度数界最优性的定理，限制独立扭转方法的有效性。
• 利用阿布拉莫维奇的模曲线亏格界和法尔廷斯定理，推导出有界度数点数的下界。
• 利用典范丛界定$X_1(N)$的亏格，从而对有理点的度数施加约束。
• 比较$\log \log d_n$与$N_n / \varphi(N_n)$的渐近增长速率，以建立扭子群大小相对于度数的所需下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过引入类数和素数分裂数据，能否改进CM椭圆曲线上扭点最大素数阶的界？
• RQ2 CM点在$X_1(N)$上的最小度数的渐近增长速率是什么？
• RQ3 当$N$足够大时，$X_1(N)$是否存在一个有理CM点，其度数小于除有限多个非CM点外的所有点？
• RQ4 $X_1(N)$的亏格如何约束有界度数有理点的存在性？
• RQ5 所构造的扭子群大小相对于度数的下界是否渐近最优？

主要发现

• 本文证明，结合类数和分裂信息的$P_{\text{CM}}(d)$的改进界在渐近意义下最优，或在许多情况下达到最优。
• 证明了对某个$C > 0$和无穷多个$n$，有$\frac{|E(L_n)[\text{tors}]|}{d_n} \geq C \sqrt{\log \log d_n}$，表明扭点相对于度数的增长速率至少达到该值。
• 当$N$足够大时，$X_1(N)$存在一个有理CM点，其度数小于除有限多个非CM点外的所有点，意味着CM点在度数最小性上占主导地位。
• 在无条件假设下，$X_1(N)$上理性CM点的最小度数下界为$\frac{7}{3200}(N^2 - 1)$；在塞尔特征值猜想下，下界为$\frac{1}{384}(N^2 - 1)$。
• 通过选取满足$p_i \equiv 1 \pmod{3}$的素数构造$L_n$，得到域次数$d_n \sim n^2 \log n$，且$|E(L_n)[\text{tors}]| \gg \sqrt{\log \log d_n}$，证实了该增长速率。
• 本文表明，塞尔定理意味着在固定$j$-不变量下，所构造的度数下界是渐近最优的，从而限制了通过独立扭转方法进一步改进的可能性。