[论文解读] Integrals in Gradshteyn and Ryzhik: Hyperbolic and trigonometric function

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文利用级数展开及Hurwitz zeta函数与polygamma函数之间的联系，对Gradshteyn和Ryzhik积分表中涉及双曲函数与三角函数的定积分提供了严格的证明与扩展。关键贡献在于推导出一个一般性积分公式：$\int_0^\infty \frac{\cosh(bx)}{\sinh(ax)} x^{p-1} dx$，其以Hurwitz zeta函数表示，统一并扩展了4.118–4.124节中的多个条目。

ABSTRACT

The well known table of Gradshteyn and Ryzhik contains indefinite and definite integrals of both elementary and special functions. We give proofs of several entries containing integrands with some combination of hyperbolic and trigonometric functions. In fact, we occasionally present an extension of such entries or else give alternative evaluations. We develop connections with special cases of special functions including the Hurwitz zeta function. Before concluding we mention new integrals coming from the investigation of certain elliptic functions.

研究动机与目标

• 对Gradshteyn和Ryzhik积分表中涉及双曲函数与三角函数的选定定积分进行严格证明与扩展。
• 建立这些积分与特殊函数（如Hurwitz zeta函数、Gamma函数和polygamma函数）之间的联系。
• 识别并更正现有表条目中的潜在错误，特别是第4.124节中的条目。
• 从椭圆函数及其Laurent展开式中涉及Hurwitz数的性质出发，推导出新的积分。

提出的方法

• 通过$\sinh^{-1}(ax)$与$\cosh^{-1}(ax)$的几何级数展开，计算涉及$\cosh(bx)/\sinh(ax)$的积分。
• 利用Hurwitz zeta函数的积分表示式$\zeta(s,a) = \sum_{n=0}^\infty (n+a)^{-s}$（$\text{Re}(s) > 1$）表达结果。
• 应用函数方程$\zeta(s,a+1) = \zeta(s,a) - a^{-s}$及已知的Riemann zeta函数约化关系。
• 利用关系式$\psi^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} n! \zeta(n+1,x)$将积分与polygamma函数联系起来。
• 通过解析延拓与积分号下微分法，推导出已知条目的等价形式。
• 从Weierstrass $\wp$-函数的性质及其涉及Hurwitz数的Laurent展开中，推导出新积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用特殊函数恒等式，严格证明Gradshteyn和Ryzhik表中涉及双曲与三角函数的积分？
• RQ2 积分$\int_0^\infty \frac{\cosh(bx)}{\sinh(ax)} x^{p-1} dx$的一般形式是什么？它与Hurwitz zeta函数有何关系？
• RQ3 所引用的Gradshteyn和Ryzhik条目中是否存在错误，特别是第4.124节？若存在，应如何更正？
• RQ4 能否从椭圆函数展开中出现的Hurwitz数的数论性质出发，推导出新的积分？

主要发现

• 推导出一般公式：$\int_0^\infty \frac{\cosh(bx)}{\sinh(ax)} x^{p-1} dx = \frac{\Gamma(p)}{(2a)^p} \left[ \zeta\left(p, \frac{a-b}{2a}\right) + \zeta\left(p, \frac{a+b}{2a}\right) \right] $，适用于$\text{Re}(p) > 1$且$|\text{Re}(b)| < |\text{Re}(a)|$。
• 该结果恢复了已知条目如3.523.1与3.524.5，并通过解析延拓与微分法确立了其等价性。
• 当$p=2$时，积分值为$\frac{\pi^2}{4a^2} \sec^2\left(\frac{\pi b}{2a}\right)$，通过双trigamma函数反射公式验证了条目4.111.6。
• 提出4.124.1条目的更正版本，证据表明原始文献中4.124.1与4.124.2条目存在引用顺序颠倒。
• 从具有周期$\tilde{\omega}$与$\tilde{\omega}i$的Weierstrass $\wp$-函数的Laurent展开中，推导出新积分，涉及Hurwitz数。
• 具体的新结果包括：$\int_0^\infty \frac{(\cos t + 1)}{\cosh t - \cos t} \left[ \sinh(t/2) - \sin(t/2) \right] dt = 1 - \frac{\pi}{4}$ 与 $\int_0^\infty \frac{(\cos t + 1)t}{\cosh t - \cos t} \left[ \cosh(t/2) - \cos(t/2) \right] dt = \tilde{\omega}^2 - 4$，其中$\tilde{\omega} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}$。