[论文解读] Functional equations for the Stieltjes constants

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过傅里叶型展开和涉及Hurwitz zeta函数与polygamma函数的积分表示，推导出在有理数参数 a = j/m 处的第一和第二Stieltjes常数 γ₁(a) 与 γ₂(a) 的显式函数方程。主要贡献在于以初等常数、对数以及Barnes G函数和zeta函数导数的特殊值形式，给出了 γ₁(j/m) 与 γ₂(j/m) 的闭式表达，从而为解析数论中的新计算与渐近工具提供了支持。

ABSTRACT

The Stieltjes constants $γ_k(a)$ appear as the coefficients in the regular part of the Laurent expansion of the Hurwitz zeta function $ζ(s,a)$ about $s=1$. We present the evaluation of $γ_1(a)$ and $γ_2(a)$ at rational argument, being of interest to theoretical and computational analytic number theory and elsewhere. We give multiplication formulas for $γ_0(a)$, $γ_1(a)$, and $γ_2(a)$, and point out that these formulas are cases of an addition formula previously presented. We present certain integral evaluations generalizing Gauss' formula for the digamma function at rational argument. In addition, we give the asymptotic form of $γ_k(a)$ as $a o 0$ as well as a novel technique for evaluating integrals with integrands with $\ln(-\ln x)$ and rational factors.

研究动机与目标

• 推导第一和第二Stieltjes常数在有理参数处的显式闭式表达式，扩展已知的 γ₀(a) = −ψ(a) 结果。
• 将 γ₀(a)、γ₁(a) 和 γ₂(a) 的乘法与加法公式作为一般函数框架的特例建立。
• 评估涉及 ln(−ln x) 和有理函数的某些类对数对数积分，将其与Stieltjes常数的差值联系起来。
• 提供一种新颖方法，用于计算被积函数包含 ln(−ln x) 和有理分母的积分，特别是分母在单位根处有极点的情形。
• 将差值 γₖ(j/m) − γₖ(1) 与对 n ≥ 0 的对数和及Hurwitz zeta函数及其导数的特殊值联系起来。

提出的方法

• 利用Hurwitz zeta函数 ζ(s,a) 在 s=1 附近的洛朗展开，将 γₖ(a) 定义为系数。
• 对形如 ∫₀¹ ln(−ln x)/(x−a) dx 的积分应用部分分式分解，利用已知的涉及多对数函数在 s=1 处导数的积分表示。
• 利用黎曼zeta函数的函数方程以及 ζ(s,a) 在 s=0, −1, −2 等处的特殊值，将结果表示为 Γ(a) 和 ψ(a) 函数的形式。
• 利用恒等式 ∂/∂s Liₛ(z)|ₛ₌₁ = −∑ₙ₌₁^∞ (lnⁿ z)/n! ⋅ ζ′(1−n, z) 处理由高阶对数积分产生的项。
• 应用涉及 ζ′(1−n) 和 ζ′′(1−n) 的求和公式，以计算积分展开中出现的无穷级数。
• 结合已知的函数恒等式，如 ζ′(0,a) = ln Γ(a) − ½ ln(2π) 和 Γ 与 ζ 函数的反射公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于正整数 j < m，第一Stieltjes常数 γ₁(j/m) 在有理参数 j/m 处的确切函数形式是什么？
• RQ2 第二Stieltjes常数 γ₂(j/m) 如何用特殊函数和常数在有理点处表示？
• RQ3 能否利用zeta函数和polygamma函数，对具有单位根处根的有理函数 p(x) 的形式 ∫₀¹ ln(−ln x)/p(x) dx 的积分进行闭式求值？
• RQ4 差值 γₖ(j/m) − γₖ(1) 与对 n ≥ 0 的 [lnᵏ(n+j/m)/(n+j/m)] 的对数和之间有何联系？
• RQ5 何种新颖方法可实现对被积函数包含 ln(−ln x) 和有理分母的积分的求值？

主要发现

• 推导出 γ₁(j/m) 的显式公式，其由初等常数、γ、ln(2π)、ln m 以及 ψ(j/m) 和 ζ′′(0, r/m) 的三角函数和组成。
• 给出 γ₂(j/m)/2 的闭式表达，涉及 γ、π²、γ₁、ζ′(0, r/m)、ζ′′(0, r/m) 和 ζ′′′(0, r/m)，并包含一个依赖于 cot(πj/m) 和 ψ(j/m) 的修正项 A。
• 积分 I₂ = ∫₀¹ ln(−ln x)/(1+x²) dx 的值为 π/4 [ln(π/8) + γ + ∑ₘ₌₁^∞ ζ(2m+1)/(16ᵐ(2m+1))], 简化后为 π/2 ln(√(2π) Γ(3/4)/Γ(1/4))。
• 开发出一种通用方法，用于对具有单位根处根的有理函数 q(x) 求值 ∫₀¹ ln(−ln x)/q(x) dx，方法基于部分分式和多对数函数导数。
• 该方法导出新的积分结果：∫₀¹ ln(−ln x)/(x²−2x cos δ +1) dx = −π/(2 sin δ) [ (δ/π) ln(2π) − ln δ + ln Γ(1+δ/(2p))/Γ(1−δ/(2p)) ]，其中 |δ| < π。
• 本文证明了 ∑ᵣ₌₁^q γₖ(r/q) = q(−1)ᵏ ln^{k+1}q/(k+1) + q∑ⱼ₌₀^k (−1)ʲ (k choose j) lnʲq ⋅ γ_{k−j}，并利用推导出的公式对 k=1 和 k=2 的情形进行了验证。