[论文解读] Integrals of automorphic Green's functions associated to Heegner divisors

Jan Hendrik Bruinier, Ulf Kuehn|ArXiv.org|Apr 9, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文推导出与正交群 O(2,p) 的算术商上 Heegner 子簇相关的自守 Green 函数积分的显式公式，推广了 Kronecker 极限公式。该研究建立了这些积分与狄利克雷 L 函数、黎曼 zeta 函数及广义除数和之间的联系，为 Kudla 将此类积分与 Mp₂(ℤ) 的非全纯 Eisenstein 系数为 1+p/2 的系数量的傅里叶系数联系起来的结果提供了新的证明与推广。

ABSTRACT

In the present paper we find explicit formulas for the degrees of Heegner divisors on arithmetic quotients of the orthogonal group $\Orth(2,p)$ and for the integrals of certain automorphic Green's functions associated with Heegner divisors. The latter quantities are important in the study of the arithmetic degrees of Heegner divisors in the context of Arakelov geometry. In particular, we obtain a different proof and a generalization of results of Kudla relating these quantities to the Fourier coefficients of certain non-holomorphic Eisenstein series of weight $1+p/2$ for the metaplectic group $\Mp_2(\Z)$.

研究动机与目标

• 推导出与 O(2,p) 的算术商上 Heegner 子簇相关的自守 Green 函数积分的显式公式。
• 将 Kronecker 极限公式推广至高秩正交群，并将这些积分与特殊 L 函数联系起来。
• 为 Kudla 将 Green 函数积分与 Mp₂(ℤ) 的非全纯 Eisenstein 系数为 1+p/2 的系数量的傅里叶系数联系起来的结果提供新的证明与拓展。
• 建立 Heegner 子簇的算术度与狄利克雷 L 函数及黎曼 zeta 函数的对数导数之间的精确关系。
• 通过 Green 函数与 Eisenstein 系数，将模形式与 Borcherds 乘积的已知结果推广至更高维正交群。

提出的方法

• 利用 Borcherds 方法构造的、与 O(2,p) 对称空间 K′ 上 Heegner 子簇 H(β,m) 相关的自守 Green 函数 Φβ,m(Z,s)。
• 应用 Green 函数的傅里叶展开及其在 s = κ/2 处的亚纯延拓，其中 κ = 1 + p/2。
• 依赖于 SL₂(ℤ) 在群代数 ℂ[L′/L] 上的 Weil 表示 ρL，以定义取值于 ℂ[L′/L] 的 Eisenstein 系数 E₀(τ,s)。
• 建立 Eisenstein 系数在 s = κ/2 处的留数与 Green 函数奇点之间的联系。
• 利用经典 Kronecker 极限公式与 Rohrlich 的模 Jensen 公式，计算 ∫Γ₁∖ℍ log|ΨD(τ)|²(4πy)^k dy 的积分。
• 通过 zeta 函数与 L 函数的函数方程及洛朗展开，提取最终公式中的对数导数项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式计算 O(2,p) 上 Heegner 子簇相关的自守 Green 函数积分？
• RQ2 这些积分与 L 函数（包括狄利克雷 L 函数与黎曼 zeta 函数）的特殊值之间存在何种精确关系？
• RQ3 Kudla 将 Green 函数积分与非全纯 Eisenstein 系数为 1+p/2 的系数量的傅里叶系数联系起来的结果，能否推广至 SL₂(ℤ) 以外的情形？
• RQ4 O(2,p) 上 Heegner 子簇的算术度如何与 L 函数的对数导数及除数和相关联？
• RQ5 Kronecker 极限公式在何种程度上可通过自守 Green 函数推广至高秩正交群？

主要发现

• 在 Γ₁∖ℍ 上，Heegner 子簇 H(D) 的度等于 L(χD,0)，从而恢复了解析类数公式。
• 在 Γ₁∖ℍ 上，log|ΨD(τ)|²(4πy)^k 的积分为 2ζ′(−1)/ζ(−1) + 1 − L′(χD,0)/L(χD,0) − (1/2)log|D|，其中权重 k = 24h/w。
• 该积分公式将经典 Kronecker 极限公式推广至高维正交群，并包含了广义除数和的贡献。
• Eisenstein 系数 E₀(τ,s) 在 s = κ/2 处的留数编码了 Green 函数的奇点，将自守形式与算术几何联系起来。
• 该方法通过将 Green 函数积分与非全纯 Eisenstein 系数为 1 + p/2 的系数量的傅里叶系数联系起来，为 Kudla 的结果提供了新证明。
• O(2,p) 上 Borcherds 乘积的 Petersson 范数对数积分的最终公式以 ζ′(−1)/ζ(−1)、L′(χD,0)/L(χD,0) 与 log|D| 表示，确认了其算术意义。