[论文解读] Integrating central extensions of Lie algebras via Lie 2-groups

Chenchang Zhu, Christoph Wockel|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文通过证明无限维李代数的中心扩张可积分化为埃泰李2-群的中心扩张，实现了对无限维情形下李第三定理的一般化，从而克服了非平凡 π₂ 所带来的障碍。该方法利用可微上同调与李范畴双范畴中的广义态射，实现了传统李群积分方法失效时的全局积分。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to show how central extensions of (possibly infinite-dimensional) Lie algebras integrate to central extensions of étale Lie 2-groups. In finite dimensions, central extensions of Lie algebras integrate to central extensions of Lie groups, a fact which is due to the vanishing of π_2 for each finite-dimensional Lie group. This fact was used by Cartan (in a slightly other guise) to construct the simply connected Lie group associated to each finite-dimensional Lie algebra. In infinite dimensions, there is an obstruction for a central extension of Lie algebras to integrate to a central extension of Lie groups. This obstruction comes from non-trivial π_2 for general Lie groups. We show that this obstruction may be overcome by integrating central extensions of Lie algebras not to Lie groups but to central extensions of étale Lie 2-groups. As an application, we obtain a generalization of Lie's Third Theorem to infinite-dimensional Lie algebras.

研究动机与目标

• 解决由于非平凡 π₂ 导致的无限维李代数中心扩张无法积分化为李群的障碍。
• 将李的第三定理推广至具有拓扑分裂中心的无限维局部指数李代数。
• 利用埃泰李2-群而非李群发展全局积分理论，克服先前方法中仅依赖局部光滑性的局限。
• 通过光滑层与广义态射的框架，统一李代数及其中心扩张的积分过程。

提出的方法

• 利用可微上同调模型化李代数上同调类及其向光滑群上同调类的积分。
• 应用李2-群理论，将其视为局部凸流形范畴中具有子张覆盖的范畴中的群胚对象。
• 在李范畴双范畴中使用广义态射与弱等价，处理全局光滑性与莫里塔等价。
• 利用2-连通覆盖与层论模型表示高阶群结构。
• 依赖沿同伦（三角形）对曲率2-形式的积分，构造局部光滑上同调中的积分上同调类。
• 建立上同调类等价与莫里塔等价李2-群之间的对应关系，确保积分过程的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限维李代数的中心扩张能否积分化为李群的中心扩张？若不能，何种更高阶结构可替代李群作为积分对象？
• RQ2 在无限维情形下，π₂ 在阻碍李代数中心扩张积分化为李群的过程中起何种作用？
• RQ3 当局部光滑性不足时，如何实现李代数上同调类的全局积分？
• RQ4 在何种意义上，埃泰李2-群可作为具有非平凡 π₂ 的无限维李代数的正确积分对象？
• RQ5 与早期方法中使用的严格态射相比，广义态射与光滑层的使用如何改进积分过程？

主要发现

• 具有拓扑分裂中心的无限维李代数中心扩张可积分化为埃泰李2-群的中心扩张，从而绕过 π₂ 障碍。
• 该积分过程是全局的，且依赖于李范畴双范畴中的广义态射，扩展了先前的局部结果。
• 该构造实现了李第三定理向无限维局部指数李代数的一般化。
• 该方法依赖于可微上同调，以及通过沿同伦对曲率2-形式积分实现的上同调类的几何实现。
• 李2-群的莫里塔等价对应于积分上同调类的等价，确保了积分过程的一致性。
• 该框架通过光滑层统一了李代数及其扩张的积分，提供了一个稳健的高阶范畴模型。