[论文解读] Integrating Lie algebroids via stacks and applications to Jacobi manifolds

Chenchang Zhu|ArXiv.org|May 9, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文提出威斯汀群丛（Weinstein groupoid）——一种具有群丛结构的可微叠（differentiable stack）——作为解决长期存在的李代数丛积分化为全局几何对象问题的方案，当传统李群丛失效时尤为关键。通过使用叠来捕捉超越流形的光滑结构，作者证明了每个李代数丛均可积分化为威斯汀群丛，并将此框架应用于雅可比流形，构建接触群丛，通过单值群与曲率分析解决可积性障碍。

ABSTRACT

Lie algebroids can not always be integrated into Lie groupoids. We introduce a new object--``Weinstein groupoid'', which is a differentiable stack with groupoid-like axioms. With it, we have solved the integration problem of Lie algebroids. It turns out that every Weinstein groupoid has a Lie algebroid, and every Lie algebroid can be integrated into a Weinstein groupoid. Furthermore, we apply this general result to Jacobi manifolds and construct contact groupoids for Jacobi manifolds. There are further applications in prequantization and integrability of Poisson bivectors.

研究动机与目标

• 解决李代数丛的积分化问题，因其并不总能积分化为李群丛。
• 定义一种新的几何对象——威斯汀群丛，通过可微叠推广李群丛。
• 将积分化框架应用于雅可比流形，构造接触群丛并分析其可积性。
• 通过雅可比视角将理论扩展至泊松流形，将可积性与单值群和曲率联系起来。
• 为局部群丛与拓扑群丛提供一种全局、光滑的替代方案，以应对积分化问题。

提出的方法

• 将威斯汀群丛定义为配备源、目标与乘法映射的局部同构可微叠，且满足群丛公理。
• 利用可微叠建模超越流形或轨道簇的光滑结构，实现全局积分化。
• 通过路径空间与叠理论框架中的表示性，构造威斯汀群丛。
• 通过泊松化方法将雅可比流形的理论应用于其上，将雅可比结构提升为 $M \times \mathbb{R}$ 上的扭曲泊松结构。
• 利用李代数丛上的联络的单值群 $N_x(A)$ 与曲率形式 $\Omega_s$、$\Omega_c$ 分析可积性。
• 定义距离函数 $r_N(A)(x)$ 以度量单值群的均匀离散性，从而确定可积性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当李群丛失效时，每个李代数丛是否都能积分化为全局几何对象？
• RQ2 在流形与轨道簇不足以描述的情况下，积分化李代数丛的正确光滑结构是什么？
• RQ3 如何利用叠理论方法为雅可比流形构造接触群丛？
• RQ4 单值群与曲率形式在雅可比与泊松结构可积性中扮演何种角色？
• RQ5 雅可比流形作为泊松流形可积的条件是什么，反之亦然？

主要发现

• 每个李代数丛均可积分化为威斯汀群丛，通过叠理论为积分化问题提供解决方案。
• 雅可比流形的接触群丛被构造为 $M_0 \times M_0 \times \mathbb{R}$，其乘法为 $(x,y,a)\cdot(y,z,b) = (x,z,a+b)$，接触1-形式为 $\theta = -\exp(p_3)p_2^*\theta_0 + p_1^*\theta_0$。
• 二维雅可比流形可积当且仅当辛面积 $A_a(r)$ 具有离散周期，即对所有叶 $L$，$\text{Per}(\omega_L)$ 为离散集。
• 存在作为雅可比结构可积但作为泊松结构不可积的雅可比流形，例如取 $a(r) = 1/(\sin r + 2)$ 时即成立。
• 单值群 $N_x(T^*M_a \oplus_{M_a} \mathbb{R})$ 均匀离散当且仅当 $\lim_{r \to 0} (A_a'(r) + A_a(r)) \neq 0$，此条件决定雅可比结构的可积性。
• 距离函数 $r_N(A)(x)$ 衡量单值群的均匀离散性；若 $r_N(A) > 0$ 且 $\lim_{y \to x} r_N(A)(y) > 0$，则保证可积性。