[论文解读] Poisson geometry and Morita equivalence

Henrique Bursztyn, Alan Weinstein|ArXiv.org|Feb 22, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 92被引用 30

一句话总结

本文通过辛群丛与双模，建立了一套泊松流形的几何莫代尔等价理论，推广了代数莫代尔理论。证明了两个泊松流形当且仅当其通过辛挠从与互变空间定义的表示范畴彼此等价时，即为莫代尔等价，关键结果为莫代尔等价完全由这些辛范畴的等价性决定。

ABSTRACT

These notes discuss various aspect of the ``representation theory'' of Poisson manifolds, with focus on Morita equivalence and Picard groups. We give a brief introduction to Poisson geometry (including Dirac and twisted Poisson structures) and algebraic Morita theory before presenting the geometric Morita theory of Poisson manifolds. We also point out the connections with the theory of symplectic groupoids and hamiltonian actions.

研究动机与目标

• 通过定义几何双模与辛群丛作用，将代数莫代尔等价推广至泊松几何。
• 通过引入表示范畴的精细辛范畴，解决等价表示范畴不总意味着莫代尔等价的问题。
• 建立泊松流形的莫代尔等价与它们的辛表示范畴等价之间的对应关系。
• 通过提出可微叠作为光滑几何的框架，解决叶层理论中病态叶空间的问题。
• 阐明佩卡德群在泊松几何中的作用，即作为表示范畴自等价的群。

提出的方法

• 通过满足雅可比恒等式 $[\Pi, \Pi] = 0$ 的双向量场定义泊松流形，其中辛叶是基本的几何对象。
• 引入辛群丛作为泊松流形的几何实现，其中群丛乘法编码泊松结构。
• 将莫代尔双模构造为 $(P_1, P_2)$-双模，以在辛群丛与表示范畴之间诱导等价。
• 将泊松流形 $P$ 的表示范畴定义为一个辛范畴，其对象为作为莫代尔等价的辛 $P$-挠从，态射为互变空间 $\mathrm{Hom}(S_1, S_2) = \overline{S_2} *_{P} S_1$。
• 使用共变子空间还原与拉格朗日子流形定义辛范畴中的复合运算，并验证 $\mathrm{Hom}(S,S)$ 同胚于辛群丛 $\mathcal{G}(M)$。
• 通过建立互变空间之间的辛同胚，证明莫代尔双模诱导辛范畴等价，从而证明泊松流形莫代尔等价的主要定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下两个泊松流形是莫代尔等价的？这种等价性如何从几何角度刻画？
• RQ2 是否可以以一种方式定义泊松流形的表示范畴，使其完全决定其莫代尔等价类？
• RQ3 辛群丛在实现泊松流形之间莫代尔等价中起什么作用？
• RQ4 在什么条件下，辛实现范畴与非交换几何中的模范畴等价？
• RQ5 规范变换与扭曲泊松结构如何影响莫代尔等价性及佩卡德群的结构？

主要发现

• 两个泊松流形当且仅当其辛表示范畴作为辛范畴彼此等价时，为莫代尔等价。
• 与辛实现 $S \to M$ 关联的辛群丛 $\mathcal{G}(M)$ 同胚于表示范畴中的 $\mathrm{Hom}(S,S)$，即自同态空间。
• 表示范畴中的复合关系是一个拉格朗多少流形，通过共变子空间还原与点情形的验证得以确认。
• 表示范畴中的可逆态射对应于辛实现的同构，此类同构通过辛映射图的约化实现。
• 泊松流形的佩卡德群同构于其表示范畴自等价的群，推广了代数中佩卡德群的概念。
• 除非考虑因子 2，否则表示范畴的等价性并不保持互变空间在辛同胚下的不变性，表明辛结构中存在微妙的差异。