[论文解读] Integration of generalized complex structures

Michael Bailey, Marco Gualtieri|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文通过引入弱全纯辛群概形（WHSG）作为积分对象，解决了广义复结构的积分问题。证明了广义复流形当且仅当其底层实泊松结构可积时，可积分至一个WHSG，从而通过微分与积分建立了WHSG与广义复结构之间的函子性、本质等价关系。

ABSTRACT

We solve the integration problem for generalized complex manifolds, obtaining as the natural integrating object a weakly holomorphic symplectic groupoid, which is a real symplectic groupoid with a compatible complex structure defined only on the associated stack, i.e., only up to Morita equivalence. We explain how such objects differentiate to give generalized complex manifolds, and we show that a generalized complex manifold is integrable in this sense if and only if its underlying real Poisson structure is integrable. Crucial to our solution are several new technical tools which are of independent interest, namely, a reduction procedure for Lie groupoid actions on Courant algebroids, as well as certain local-to-global extension results for multiplicative forms on local Lie groupoids. Finally, we implement our generalized complex integration procedure in several concrete examples.

研究动机与目标

• 解决广义复结构积分至全局几何对象的长期悬而未决问题。
• 阐明广义复结构与其底层实泊松结构之间的关系，特别是当后者在经典意义下不可积时的情形。
• 构建一个框架，使得广义复流形的横截复结构不再定义在原始流形上，而是定义在与之莫里塔等价的泊松流形上。
• 建立广义复结构与弱全息辛群概形（WHSG）之间的函子性微分与积分过程。

提出的方法

• 引入弱全息辛群概形（WHSG）的概念，定义为一个实辛群概形，且与某个全息辛群概形的虚部存在辛莫里塔等价。
• 发展作用于库朗代数丛上的李群概形作用的约化理论，从而实现从群概形作用构造广义复结构。
• 利用贝利的全息正规型定理（定理 2.8）在广义复流形的点附近构造局部全息辛群概形。
• 应用局部到整体的乘法形式延拓结果，适用于局部李群概形，将局部全息辛结构延拓为全局WHSG。
• 通过形式完备化与Čech型群概形商构造实辛群概形的全息局部化，作为积分对象。
• 建立从WHSG到广义复结构的微分函子，通过唯一性与函子性证明其在WHSG范畴与具有可积底层泊松结构的广义复结构范畴之间构成本质等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定广义复结构在复几何与辛几何之间插值，其正确的积分对象是什么？
• RQ2 广义复流形的横截复结构与其底层泊松结构之间有何关系，特别是当流形不具有全局复结构时？
• RQ3 在何种条件下广义复结构可被积分至全局几何对象？该对象的性质是什么？
• RQ4 广义复结构的积分与底层实泊松结构的可积性之间有何关系？
• RQ5 能否使积分过程具备函子性与本质性？即每个可积广义复结构是否都源自唯一的WHSG？

主要发现

• 广义复结构当且仅当其底层实泊松结构可积时，可积分至弱全息辛群概形（WHSG）。
• 积分所得到的WHSG是一个实辛群概形，且与某个全息辛群概形的虚部存在辛莫里塔等价，该等价关系在全息辛莫里塔等价意义下唯一确定。
• WHSG的微分过程可得到广义复结构，且该微分过程定义了一个函子，该函子在WHSG范畴与具有可积底层泊松结构的广义复结构范畴之间构成本质等价。
• 全息结构并非定义在原始流形上，而是定义在与之莫里塔等价的泊松流形上，该流形作为参数化泊松结构辛叶的微分堆被实现。
• 可通过贝利的正规型定理构造局部全息辛群概形，且利用乘法形式延拓技术，这些结构可整体延拓为WHSG。
• 局部李群概形上的乘法形式可唯一延拓至其形式完备化，若该形式在局部为辛形式，则延拓后的全局形式仍保持辛性。