[论文解读] Integration of rough paths - the truncated variation approach

Rafał M. Łochowski|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于截断变差的黎曼-斯蒂尔杰斯积分新方法，提供了洛埃夫-杨不等式的改进版本，并建立了新的巴拿赫空间 ${\cal U}^p([a;b])$，该空间严格包含有限 $p$-变差函数。该方法使得在中等不规则信号驱动的积分方程中获得更强的存在性结果成为可能，特别是对于布朗运动等缺乏有限二次变差但满足新范数条件的路径。

ABSTRACT

Using truncated variation techniques we obtain an improved version of the Loeve-Young inequality for the Riemann-Stieltjes integrals driven by rough paths. This allowed us to strenghten some result on the existence of solutions of integral equations driven by moderately irregular signals. We introduce also a new Banach space, containing as a proper subspace the paths with finite $p$-variation, and develop, in a systematic way, several parallel results for the paths from this space, obtained so far for the paths with finite $p$-variation. We start the paper with a general theorem on the existence of the Riemann-Stieltjes integral.

研究动机与目标

• 建立基于截断变差泛函的黎曼-斯蒂尔杰斯积分的一般存在性条件。
• 通过将截断变差在 $\delta \to 0^+$ 时的渐近行为与 $p$-变差的有限性联系起来，改进洛埃夫-杨不等式。
• 引入并发展一个新的巴拿赫空间 ${\cal U}^p([a;b])$，其严格包含有限 $p$-变差函数的空间。
• 将基于不规则信号的积分方程的存在性与正则性结果，拓展至经典 $p$-变差框架之外。

提出的方法

• 将截断变差 $\text{TV}^\delta(f,[a;b])$ 定义为 $f$ 的 $\delta/2$-均匀逼近的总变差的下确界，等价于对划分求和 $\max\{|f(t_i)-f(t_{i-1})| - \delta, 0\}$。
• 基于截断变差证明一个一般的存在性定理（定理1），统一了有限总变差与有限 $p$-变差的情形。
• 引入范数 $\|f\|_{TV,p,[a;b]} := |f(a)| + \sup_{\delta>0} \left( \delta^{p-1} \text{TV}^\delta(f,[a;b]) \right)^{1/p}$，该范数定义了巴拿赫空间 ${\cal U}^p([a;b])$。
• 利用新范数证明，如布朗运动等具有无限二次变差的路径，几乎必然属于 ${\cal U}^2([0;T])$。
• 通过基于截断变差范数的估计，将该框架应用于积分方程，证明在 ${\cal U}^p$ 中的压缩映射原理。
• 建立定量不等式（推论2、3），得出洛埃夫-杨不等式的更强版本，明确体现了对 $p$ 和 $q$-变差的依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用一种比总变差或 $p$-变差本身更精确捕捉不规则性的泛函，来保证黎曼-斯蒂尔杰斯积分的存在性？
• RQ2 当 $\delta \to 0^+$ 时，截断变差的渐近行为如何与 $p$-变差的有限性相关联？
• RQ3 是否可以定义一个路径空间，其严格大于有限 $p$-变差路径的空间，同时仍适用于随机积分？
• RQ4 该新框架能否为 $p$-变差积分导出洛埃夫-杨不等式的更强版本？
• RQ5 能否在比以往已知更广泛的空间中，证明由不规则信号驱动的积分方程解的存在性？

主要发现

• 当且仅当 $f$ 是有界变差函数时，截断变差泛函 $\text{TV}^\delta(f,[a;b])$ 对所有 $\delta > 0$ 有限，且其显式公式为对划分求和 $\sum \max\{ |\Delta f| - \delta, 0 \}$。
• 泛函 $\|f\|_{TV,p,[a;b]} = |f(a)| + \sup_{\delta>0} \left( \delta^{p-1} \text{TV}^\delta(f,[a;b]) \right)^{1/p}$ 在空间 ${\cal U}^p([a;b])$ 上定义了一个范数，使其成为一个巴拿赫空间。
• ${\cal U}^p([a;b])$ 空间严格包含有限 $p$-变差函数的空间 ${\cal V}^p([a;b])$，如在 $[0;T]$ 上的布朗运动所示。
• 对于布朗运动 $B$，有 $V^2(B,[0;T]) = \infty$ 几乎必然成立，但 $\|B\|_{TV,2,[0;T]} < \infty$ 几乎必然成立，因此 $B \in {\cal U}^2([0;T])$。
• 推导出洛埃夫-杨不等式的更强版本（推论2、3），改进了已知的关于 $p$-和 $q$-变差信号的黎曼-斯蒂尔杰斯积分的界。
• 在 $F$ 全局利普希茨连续且 $x$ 属于 ${\cal U}^p$ 的条件下，证明了积分方程 $y(t) = y_0 + \int_a^t F(y(s)) \, dx(s)$ 在 ${\cal U}^p([a;b])$ 中存在唯一解，前提是满足小时间压缩条件。