[论文解读] Integration with respect to Euler characteristic over the projectivization of the space of functions and the Alexander polynomial of a plane curve singularity

Antonio Campillo, F. Delgado+1 more|ArXiv.org|May 22, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文建立了平面曲线奇点的亚历山大多项式与zeta函数之间的新联系，以及与局部函数环的射影化空间上关于欧拉示性数的积分之间的关系。它表明，这些不变量可通过在芽的空间上对柱状函数进行积分来表达，使用基于赋值的构造以及喷射空间中半代数集上的欧拉示性数测度。

ABSTRACT

We discuss a notion of integration with respect to the Euler characteristic in the projectivization $¶{\cal O}_{\C^n,0}$ of the ring ${\cal O}_{\C^n,0}$ of germs of functions on $C^n$ and show that the Alexander polynomial and the zeta-function of a plane curve singularity can be expressed as certain integrals over $¶{\cal O}_{\C^2,0}$ with respect to the Euler characteristic.

研究动机与目标

• 将平面曲线奇点的亚历山大多项式与zeta函数表示为关于欧拉示性数的积分。
• 为原点处全纯函数芽局部环的射影化空间上的积分建立一个框架。
• 表征由曲线分支上赋值条件定义的集合的欧拉示性数。
• 将弧空间和喷射空间中的结果推广到射影化函数空间。
• 为奇点理论中的经典不变量提供拓扑与测度论解释。

提出的方法

• 将局部函数环射影化空间中的柱状子集定义为喷射投影映射的原像。
• 通过其在有限维射影喷射空间中的像的欧拉示性数，为柱状集合分配欧拉示性数。
• 基于曲线分支上芽 $g$ 的赋值向量 $\underline{v}(g)$ 构造柱状函数。
• 利用半代数集上欧拉示性数的可加性与测度类似性质，定义积分。
• 将亚历山大多项式 $\Delta^C(t_1,\dots,t_r)$ 表示为 $\underline{t}^{\underline{v}(g)}$ 在 $\mathbb{P}\mathcal{O}_{\mathbb{C}^2,0}$ 上关于欧拉示性数的积分。
• 利用先前关于单体性和喷射空间的研究结果，证明zeta函数 $\zeta_C(t)$ 等于同一空间上 $t^{v(g)}$ 的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面曲线奇点的亚历山大多项式能否表示为在射影化函数芽空间上关于欧拉示性数的积分？
• RQ2 函数芽关于曲线分支的赋值如何与喷射空间中的可测子集相关联？
• RQ3 在函数芽空间中是否存在一种测度论构造，能够恢复奇点的zeta函数？
• RQ4 局部环的射影化在编码奇点的拓扑不变量中起什么作用？
• RQ5 柱状集及其欧拉示性数如何在代数几何与奇点不变量之间架起桥梁？

主要发现

• 对任意 $\underline{v} \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^r$，集合 $\{g \in \mathbb{P}\mathcal{O}_{\mathbb{C}^2,0} \mid \underline{v}(g) = \underline{v}\}$ 是柱状的，从而可在这些水平集上进行积分。
• $\underline{t}^{\underline{v}(g)}$ 是柱状且在 $\mathbb{P}\mathcal{O}_{\mathbb{C}^2,0}$ 上可积，其积分为亚历山大多项式 $\Delta^C(t_1,\dots,t_r)$，当 $r > 1$ 时成立。
• $t^{v(g)}$ 是柱状且可积，其在 $\mathbb{P}\mathcal{O}_{\mathbb{C}^2,0}$ 上的积分为zeta函数 $\zeta_C(t)$，当 $r \geq 1$ 时成立。
• 该构造依赖于当 $g \in m^s$ 时有 $v_i(g) \geq s$，从而确保水平集由喷射截断条件定义。
• 柱状集在有限维喷射空间中的像的欧拉示性数决定了其在射影化函数空间中原像的欧拉示性数。
• 结果推广了关于单体性李特尔伍德数的早期发现，并将关于欧拉示性数的积分理论扩展到射影化函数空间。