[论文解读] Interacting time-fractional and $\Delta^{ u}$ PDEs systems via Brownian-time and Inverse-stable-L\'evy-time Brownian sheets

Hassan Allouba, Erkan Nane|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文建立了一类新型随机联系，将布朗运动时间布朗面上（BTBS）与逆稳定Lévy时间布朗面上（ISLTBS）关联至具有相互作用的时间分数阶与高阶偏微分方程（PDE）系统。通过随机分析、分数阶微积分及傅里叶-拉普拉斯变换，证明了分数阶与高阶PDE系统之间的条件等价性，展示了通过初始数据的空间拉普拉斯算子保持记忆特性的解。其核心贡献在于构建了一个统一框架，将多参数随机过程与具有内在相互作用与记忆效应的耦合PDE系统联系起来。

ABSTRACT

Lately, many phenomena in both applied and abstract mathematics and related disciplines have been expressed in terms of high order and fractional PDEs. Recently, Allouba introduced the Brownian-time Brownian sheet (BTBS) and connected it to a new system of fourth order interacting PDEs. The interaction in this multiparameter BTBS-PDEs connection is novel, leads to an intimately-connected linear system variant of the celebrated Kuramoto-Sivashinsky PDE, and is not shared with its one-time-parameter counterpart. It also means that these PDEs systems are to be solved for a family of functions, a feature exhibited in well known fluids dynamics models. On the other hand, the memory-preserving interaction between the PDE solution and the initial data is common to both the single and the multi parameter Brownian-time PDEs. Here, we introduce a new---even in the one parameter case---proof that judiciously combines stochastic analysis with analysis and fractional calculus to simultaneously link BTBS to a new system of temporally half-derivative interacting PDEs as well as to the fourth order system proved earlier and differently by Allouba. We then introduce a general class of random fields we call inverse-stable-L\'evy-time Brownian sheets (ISLTBSs), and we link them to $\beta$-fractional-time-derivative systems of interacting PDEs for $0<\beta<1$. When $\beta=1/ u$, $ u\in\lbr2,3,... br$, our proof also connects an ISLTBS to a system of memory-preserving $ u$-Laplacian interacting PDEs. Memory is expressed via a sum of temporally-scaled $k$-Laplacians of the initial data, $k=1,..., u-1$. Using a Fourier-Laplace-transform-fractional-calculus approach, we give a conditional equivalence result that gives a necessary and sufficient condition for the equivalence between the fractional and the high order systems. In the one parameter case this condition automatically holds.

研究动机与目标

• 建立布朗运动时间布朗面上（BTBS）与时间半阶导数及四阶相互作用PDE系统之间的一种新型随机联系。
• 引入逆稳定Lévy时间布朗面上（ISLTBS），并将其与0 < β < 1范围内的β分数阶时间导数相互作用PDE系统相联系。
• 利用傅里叶-拉普拉斯变换与分数阶微积分，证明高阶与分数阶PDE系统之间的条件等价性。
• 通过在f及其导数上引入可积性与增长条件，放宽初始数据有界性的假设，将结果推广至非有界初始数据情形。
• 证明PDE系统解中的记忆效应通过初始数据的空间k-拉普拉斯算子（k = 1, ..., ν−1）进行编码，适用于ν-拉普拉斯算子系统。

提出的方法

• 采用统一的随机分析证明方法，结合伊藤法则、布朗面上的性质与分数阶微积分，同时将BTBS与半阶导数及四阶相互作用PDE系统相联系。
• 将ISLTBS引入为BTBS的推广形式，其中每个时间参数被替换为逆稳定Lévy过程。
• 应用傅里叶-拉普拉斯变换-分数阶微积分方法，推导出高阶与分数阶PDE系统之间的条件等价性。
• 推导出分数阶与高阶PDE系统之间等价性的必要与充分条件，该条件在单参数情形下自动成立。
• 利用布朗运动时间费曼-卡茨公式，将解表示为在时间经由绝对布朗运动或逆稳定Lévy过程改变的布朗路径上的期望。
• 通过引入涉及布朗面上密度及其导数的可积性与增长条件（3.1），放宽对初始数据f及其导数有界性的假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 布朗运动时间布朗面上（BTBS）如何用于生成相互作用的时间分数阶与四阶PDE系统？
• RQ2 与BTBS和ISLTBS相关的高阶与分数阶PDE系统之间的条件等价性条件是什么？
• RQ3 这些PDE系统解中的记忆效应如何表现？它们如何通过初始数据的空间拉普拉斯算子编码？
• RQ4 在保持PDE联系的前提下，能否放宽对f及其导数有界性的假设？
• RQ5 逆稳定Lévy过程在生成β分数阶时间导数相互作用PDE系统中起什么作用？

主要发现

• 本文证明了BTBS与时间半阶导数相互作用PDE系统之间一种新型随机分析联系，该结果在单参数情形下具有新颖性。
• 建立了基于BTBS的四阶与时间分数阶相互作用PDE系统之间的条件等价性，且该条件在单参数设定下自动满足。
• 对于ISLTBS且β = 1/ν（ν ∈ {2, 3, ...}）的情形，该方法将过程与ν-拉普拉斯算子相互作用PDE系统相联系，通过初始数据的k-拉普拉斯算子（k = 1, ..., ν−1）的时序缩放和保持记忆特性。
• 分数阶PDE的解V(j)(t, x)满足∂βtj V(j)(t, x) = 1/2 ∆x V(j)(t, x)，确认了分数阶PDE的联系。
• 对f及其导数的有界性假设可被可积性与增长条件（3.1）替代，当f具有多项式增长且其导数为Hölder连续时，该条件成立。
• 结果可推广至ν = 1/2（即β = 1/2）的情形，经轻微核密度调整后，可恢复BTBS四阶PDE系统。