[论文解读] Interaction Graphs: Full Linear Logic

Thomas Seiller|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于连续测度空间上的交互图的全线性逻辑的定量动态模型，支持二阶量化。通过将离散交互图推广为作用于连续变体上的图化映射（graphings），该模型在保持资源追踪和概率计算等定量特征的同时，实现了对指数模态和二阶类型的完整解释。

ABSTRACT

Interaction graphs were introduced as a general, uniform, construction of dynamic models of linear logic, encompassing all "Geometry of Interaction" (GoI) constructions introduced so far. This series of work was inspired from Girard's hyperfinite GoI, and develops a quantitative approach that should be understood as a dynamic version of weighted relational models. Until now, the interaction graphs framework has been shown to deal with exponentials for the constrained system ELL (Elementary Linear Logic) while keeping its quantitative aspect. Adapting older constructions by Girard, one can clearly define "full" exponentials, but at the cost of these quantitative features. We show here that allowing interpretations of proofs to use continuous (yet finite in a measure-theoretic sense) sets of states, as opposed to earlier Interaction Graphs constructions were these sets of states were discrete (and finite), provides a model for full linear logic with second order quantification.

研究动机与目标

• 将交互图框架扩展至建模全线性逻辑，包括二阶量化和完整的指数模态。
• 在先前受限于 ELL（初等线性逻辑）片段的基础上，保持定量语义特征，如资源核算和概率权重。
• 克服此前在定量特征与完整指数连接词之间存在的权衡，此前为实现完整指数行为而不得不牺牲定量性。
• 为线性逻辑提供一种统一、动态且几何化的语义，推广现有的几何交互（GoI）构造。
• 在单一语义框架内，实现对高级计算现象（如概率选择和有界线性逻辑模态）的建模。

提出的方法

• 将离散交互图推广为图化映射（graphings），即在测度空间 X 上实现图的几何化表示，允许连续的状态集合。
• 将方言（dialect）定义为 X 的可测子集，并赋予权重结构，从而实现连续且有限测度的状态空间。
• 通过作用于这些连续方言的图化映射，构建证明的语义解释，其中权重表示资源消耗或概率。
• 引入加权收缩操作，根据概率权重对方言进行分裂，从而实现对概率和式的解释。
• 利用指数模态 !A 以定量方式同时建模收缩与弱化，实现在不损失测度论有限性的情况下，实现完整的指数行为。
• 利用微观宇宙构造（microcosm construction）控制图化映射对方言的作用方式，从而表征复杂度类和计算原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 交互图能否被扩展以在保持定量语义的前提下，建模包含二阶量化的全线性逻辑？
• RQ2 如何利用连续且有限测度的状态空间，在不损失定量特征的前提下解释完整的指数连接词？
• RQ3 该框架能否通过在连续方言上进行加权收缩来建模概率计算？
• RQ4 是否可能在此连续交互图模型中解释有界线性逻辑的模态和资源多态性？
• RQ5 微观宇宙构造如何实现对计算原理和复杂度表征的控制？

主要发现

• 该框架通过将离散交互图推广至连续测度空间上的图化映射，成功实现了对包含二阶量化的全线性逻辑的建模。
• 该模型保持了资源追踪和概率权重等定量特征，克服了早期构造中为实现完整指数模态而牺牲定量性的局限。
• 概率计算通过在连续方言上的加权收缩实现，其中方言的分裂对应于概率权重（例如，公平硬币投掷对应 1/2 的权重）。
• 图化映射的使用使得无限但有限测度的结构能够实现几何化表示，从而以定量方式解释无界指数模态。
• 该模型推广了 Girard 的超有限 GoI，并提供一种动态、无类型的语义，将剪切消去解释为执行操作。
• 微观宇宙构造通过限制图化映射对方言的作用方式，实现了对计算复杂度类的表征，为复杂度理论分析开辟了路径。