[论文解读] Interaction in Quantum Communication Complexity

Ashwin Nayak, Amnon Ta‐Shma+1 more|ArXiv.org|May 25, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文表明，增加量子通信协议中的交互次数可导致通信复杂度呈指数级降低，从而反驳了将所有量子协议简化为低消息形式的可能性。它证明了对于任意常数 $k$，存在一个问题，使得 $k+1$ 条消息可实现 $O(\log N)$ 的通信量，而 $k$ 条消息则需要 $\Omega(N^{1/(k+1)})$ 量子比特，从而在消息复杂度之间建立了超多项式分离。

ABSTRACT

One of the most intriguing facts about communication using quantum states is that these states cannot be used to transmit more classical bits than the number of qubits used, yet there are ways of conveying information with exponentially fewer qubits than possible classically. Moreover, these methods have a very simple structure---they involve little interaction between the communicating parties. We look more closely at the ways in which information encoded in quantum states may be manipulated, and consider the question as to whether every classical protocol may be transformed to a ``simpler'' quantum protocol of similar efficiency. By a simpler protocol, we mean a protocol that uses fewer message exchanges. We show that for any constant k, there is a problem such that its k+1 message classical communication complexity is exponentially smaller than its k message quantum communication complexity, thus answering the above question in the negative. Our result builds on two primitives, local transitions in bi-partite states (based on previous work) and average encoding which may be of significance in other applications as well.

研究动机与目标

• 探究是否所有高效的量子通信协议均可被简化为消息交换更少但通信成本不变的形式。
• 确定交互在量子通信复杂度中的作用，特别是最小通信协议是否本质上需要最小交互。
• 在通信复杂度与交换消息数之间建立分离，表明更多消息可显著降低通信成本。
• 开发新的量子信息理论工具，包括平均编码和双局域态中的局部变换，以分析协议的限制。

提出的方法

• 提出平均编码定理：若量子编码 $Q$ 与均匀随机输入 $X$ 的互信息 $I(Q:X)$ 较低，则平均态 $\sigma = \frac{1}{2^m}\sum_x \sigma_x$ 与每个 $\sigma_x$ 的误差被 $2\sqrt{I(Q:X)}$ 所限制。
• 使用修改后的协议 $\mathcal{P}'$，其中第一条消息被纯化并由爱丽丝发送，使得鲍勃可通过局部操作模拟原始协议。
• 应用平均编码定理，表明 $k$-消息协议中的第一条消息可被一个固定态替代，误差较低，从而将消息数减少至 $k-1$。
• 利用互信息不等式来限制每条消息泄露的总信息量，表明 $\sum_i \mu_i \leq \ell_1$，其中 $\ell_1$ 为第一条消息的长度。
• 通过纯化第一条消息并使用局部酉变换模拟原始协议，将 $k$-消息协议简化为 $(k-1)$-消息协议。
• 基于指针跳跃的一个子问题构造一个问题，使得 $k+1$ 条消息可实现 $O(\log N)$ 的通信量，而 $k$ 条消息则需要 $\Omega(N^{1/(k+1)})$ 量子比特。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个经典通信协议都可被转化为一种更简单的量子协议，其消息交换更少但通信成本相似？
• RQ2 量子协议中消息数与通信成本之间是否存在根本性的权衡？
• RQ3 最小交互的量子协议（例如单向协议）能否实现与多消息协议相同的效率？
• RQ4 在量子协议中，增加消息交换次数所能获得的最大通信复杂度优势是什么？
• RQ5 如何利用平均编码和局部变换等量子信息理论工具来分析和界定通信复杂度？

主要发现

• 对于任意常数 $k$，存在一个问题，使得 $k+1$ 消息的量子协议可实现 $O(\log N)$ 的通信量，而 $k$ 消息的协议则需要 $\Omega(N^{1/(k+1)})$ 量子比特。
• 在不相交问题（DISJ）上，$k$-消息协议的下界为 $\Omega(N^{1/k(k+1)})$，优于先前的界限。
• 平均编码定理表明，若量子编码与输入的互信息较低，则平均态与每个编码态的近似误差不超过 $2\sqrt{I(Q:X)}$。
• 在 $k$-消息协议中，第一条消息可被纯化并由爱丽丝发送，从而实现一条消息数为 $k-1$ 的协议，且成功率和通信成本保持不变。
• 每条消息 $M$ 的互信息 $I(M:Y_i)$ 受其长度限制，从而得出 $\sum_i \mu_i \leq \ell_1$，该不等式用于控制协议模拟中的误差。
• 该结果意味着单向量子协议无法高效模拟多消息协议，因为消息数越少，通信成本会指数级增加。