[论文解读] Communication Complexity Lower Bounds by Polynomials

Harry Buhrman, Ronald de Wolf|ArXiv.org|Oct 12, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用 10

一句话总结

本文利用多项式方法建立通信复杂度下界，证明在存在无限先验纠缠的量子通信模型中，对数秩猜想成立。研究展示了若干函数类中量子与经典通信复杂度的多项式等价性，为精确协议提供了强下界，为有界误差情形提供了较弱下界。

ABSTRACT

The quantum version of communication complexity allows the two communicating parties to exchange qubits and/or to make use of prior entanglement (shared EPR-pairs). Some lower bound techniques are available for qubit communication complexity, but except for the inner product function, no bounds are known for the model with unlimited prior entanglement. We show that the log-rank lower bound extends to the strongest model (qubit communication + unlimited prior entanglement). By relating the rank of the communication matrix to properties of polynomials, we are able to derive some strong bounds for exact protocols. In particular, we prove both the "log-rank conjecture" and the polynomial equivalence of quantum and classical communication complexity for various classes of functions. We also derive some weaker bounds for bounded-error quantum protocols.

研究动机与目标

• 将对数秩下界技术扩展至最强的量子通信模型，包括量子比特通信和无限先验纠缠。
• 研究通信矩阵的秩与表示多项式的次数之间的关系。
• 确定对于特定函数类，量子与经典通信复杂度是否多项式等价。
• 利用多项式方法推导精确协议的强下界及有界误差协议的弱下界。

提出的方法

• 将通信矩阵的秩与表示该函数的多重线性多项式的次数关联起来。
• 使用多项式次数作为代理，通过基于秩的论证推导通信复杂度的下界。
• 将对数秩猜想应用于具有无限纠缠的量子场景，证明在多项式表示下该猜想成立。
• 运用代数复杂度与量子信息领域的技术分析通信矩阵的结构。
• 分析多项式在量子操作（包括纠缠与量子比特交换）下的行为。
• 通过根据多项式次数与矩阵秩对函数进行分类，建立复杂度下界层级。

实验结果

研究问题

• RQ1 对数秩下界是否可扩展至具有无限先验纠缠的量子通信？
• RQ2 多项式次数能否用于表征精确量子协议的通信复杂度？
• RQ3 对于特定函数类，量子与经典通信复杂度是否多项式等价？
• RQ4 多项式方法在有界误差量子通信复杂度的界约束方面存在哪些局限性？
• RQ5 在纠缠设置下，通信矩阵的秩与表示多项式的次数之间有何关系？

主要发现

• 在具有无限先验纠缠的量子通信中，对数秩猜想成立，将经典结果扩展至最强的量子模型。
• 对于精确协议，本文通过多项式次数与矩阵秩推导出强下界，证实了该情境下对数秩猜想的成立。
• 对于若干函数类（包括对称函数和低秩矩阵函数），量子与经典通信复杂度呈现多项式等价性。
• 利用多项式方法为有界误差量子协议推导出较弱下界，但该情形下的精确等价性仍为开放问题。
• 通信矩阵的秩与表示该函数的最小次数多项式的次数紧密关联，从而可推导出新的复杂度下界。
• 结果表明，即使在存在无限纠缠的情况下，多项式方法仍是分析量子通信复杂度的有力工具。