[论文解读] Internal and local homotopy theory

Zhen Lin Low|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文证明了在格罗滕迪克范畴上的单纯层的同伦理论中的弱等价关系构成一种层类型理论，即它们由一个层拓扑斯分类。通过在正则范畴中使用内蕴同伦理论以及一个内蕴版本的卡恩的 Ex∞ 函子，作者证明了局部弱同伦等价关系与 J-局部弱等价关系一致，从而为构造性设定下的局部同伦理论提供了新的逻辑与范畴论基础。

ABSTRACT

There is a well-established homotopy theory of simplicial objects in a Grothendieck topos, and folklore says that the weak equivalences are axiomatisable in the geometric fragment of $L_{ω_1, ω}$. We show that it is in fact a theory of presheaf type, i.e. classified by a presheaf topos. As a corollary, we obtain a new proof of the fact that the local Kan fibrations of simplicial presheaves that are local weak homotopy equivalences are precisely the morphisms with the expected local lifting property.

研究动机与目标

• 建立单纯层同伦理论中的弱等价关系可在 Lω1,ω 的几何片段中公理化，并构成一种层类型理论。
• 通过为 σ-预拓扑斯中的单纯对象发展卡恩的 Ex∞ 函子的内蕴版本，推广雅尔丁的局部同伦理论。
• 通过证明它们恰好是具有内蕴提升性质的态射，为局部弱同伦等价关系提供一个新的局部提升性质的证明。
• 使用范畴论逻辑与拓扑斯论方法，重新推导并重新诠释雅尔丁与杜格和艾萨克森的经典局部同伦理论结果。

提出的方法

• 在一个 σ-预拓扑斯中构造卡恩的 Ex∞ 函子的内蕴版本，以定义单纯对象的内蕴弱等价关系。
• 使用正则范畴中的弱拉回概念，定义内蕴的 Kan 纤维丛与提升性质。
• 应用完备性定理，将经典同伦论结果从单纯集转移到拓扑斯中的内蕴设定。
• 利用此类等价关系在拉回与余极限下保持不变的事实，证明单纯层上的 J-局部弱同伦等价关系类由一个层拓扑斯分类。
• 利用层与预层之间的伴随关系，将层拓扑斯中内蕴弱等价关系与单纯层上的局部弱等价关系联系起来。
• 使用伪拉回定理，证明 J-局部弱同伦等价关系的全子范畴是可及的，并且对过滤余极限封闭。

实验结果

研究问题

• RQ1 单纯层同伦理论中的弱等价关系能否在范畴论逻辑中作为层类型理论公理化？
• RQ2 卡恩的 Ex∞ 函子的内蕴版本如何刻画 σ-预拓扑斯上单纯对象的弱等价关系？
• RQ3 单纯层上的 J-局部弱同伦等价关系是否与文献中标准的局部弱同伦等价关系（例如杜格与艾萨克森所定义）一致？
• RQ4 局部弱同伦等价关系的局部提升性质是否等价于层拓扑斯中内蕴同伦理论的内蕴提升性质？
• RQ5 单纯层中 J-局部弱同伦等价关系的全子范畴具有何种范畴结构（例如可及性、对余极限的封闭性）？

主要发现

• 单纯层的弱等价关系类由一个层拓扑斯分类，确认其为一种层类型理论。
• 一个单纯层之间的态射是 J-局部弱同伦等价关系，当且仅当它是杜格与艾萨克森意义上的局部弱同伦等价关系。
• 一个态射是 J-局部平凡 Kan 纤维丛，当且仅当它既是 J-局部 Kan 纤维丛，也是 J-局部弱同伦等价关系。
• J-局部弱同伦等价关系的全子范畴对过滤余极限封闭，并且是可及的。
• 层拓扑斯中内蕴弱同伦等价关系的内蕴提升性质，精确对应于单纯层中的局部提升性质。
• 态射 X →j∗j∗X 是一个 J-局部弱同伦等价关系，推广了雅尔丁的一个结果。