[论文解读] Intersection theory of coassociative submanifolds in G_(2)-manifolds and Seiberg-Witten invariants

Naichung Conan Leung, Xiaowei Wang|ArXiv.org|Jan 29, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文建立了G₂-流形中具有共协成交叉边界条件的瞬子与共协成交叉子流形中J-全纯曲线之间的对应关系，表明小瞬子在共协成交叉子流形趋近时的极限行为收敛于全 holomorphic 曲线。关键结果通过Taubes在辛四维流形中建立的Seiberg-Witten与Gromov-Witten不变量之间的对应关系，将此类瞬子的计数与Seiberg-Witten不变量联系起来。

ABSTRACT

We study the problem of counting instantons with coassociative boundary condition in (almost) G_(2)-manifolds. This is analog to the open Gromov-Witten theory for counting holomorphic curves with Lagrangian boundary condition in Calabi-Yau manifolds. We explain its relationship with the Seiberg-Witten invariants for coassociative submanifolds.

研究动机与目标

• 通过计数具有共协成交叉边界条件的瞬子，发展G₂-流形的开Gromov-Witten理论类比。
• 将此类瞬子的计数与共协成交叉子流形的Seiberg-Witten不变量联系起来。
• 在共协成交叉子流形彼此趋近的极限下，建立小瞬子与中心共协成交叉子流形中J-全纯曲线之间的几何对应关系。
• 将Taubes在Seiberg-Witten与Gromov-Witten不变量之间的对应关系推广至G₂-瞬子的设定。
• 为理解泡胀与退化在瞬子模空间紧化中的作用提供基础。

提出的方法

• 在G₂-流形M中使用一个一参族共协成交叉子流形{C_t}，满足在t=0处导数dC_t/dt非零。
• 对定义在模型瞬子A_ε的法丛截面空间上的泛函F_ε应用隐函数定理，其中F_ε(V) = *(exp_V^* τ)^⊥。
• 依赖于在扭曲Dirac算子上的特征值估计，该算子作用于扭曲积邻域Σ × [0,ε]，以控制导数D F_ε(0)的可逆性。
• 证明导数D F_ε(0)在ε-邻近于Σ × [0,ε]上的扭曲Dirac算子，从而可应用定量隐函数定理。
• 利用Bryant的结果：当Λ₊²(C)在拓扑上平凡时，对于适当的非完备G₂-度量，Λ₊²(C)中的零截面是共协成交叉的。
• 应用Taubes定理：辛四维流形C的Seiberg-Witten不变量等于其Gromov-Witten不变量，从而将瞬子计数与辛不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为G₂-流形中具有共协成交叉边界条件的瞬子定义并计算一种开Gromov-Witten型不变量？
• RQ2 此类瞬子的数量与共协成交叉子流形的Seiberg-Witten不变量之间存在何种关系？
• RQ3 当一族瞬子的边界位于两个邻近的共协成交叉子流形上时，在何种条件下其收敛于中心子流形中的J-全纯曲线？
• RQ4 能否从环境G₂-流形中对小瞬子的计数恢复共协成交叉子流形的Seiberg-Witten不变量？
• RQ5 当共协成交叉子流形不接近时，泡胀在瞬子模空间紧化中起何种作用？

主要发现

• 任何在共协成交叉子流形C₀中的正则J-全纯曲线Σ，均可作为一参数族瞬子A_ε（边界位于C₀ ∪ C_ε）在C¹-拓扑下的极限出现。
• 反之，若一族瞬子A_t（边界位于C₀ ∪ C_t）在C¹-拓扑下收敛于极限Σ，则Σ必为C₀中的J-全纯曲线。
• 对于C₀中的任意正则J-全纯曲线Σ，存在一个微分同胚于[0,1] × Σ的瞬子A_ε ⊂ M，满足∂A_ε ⊂ C₀ ∪ C_ε，对所有充分小的ε > 0成立。
• 当C₀为辛四维流形时，由Taubes定理，C₀的Seiberg-Witten不变量等于其Gromov-Witten不变量，且瞬子计数应反映这一等价性。
• 此类瞬子的存在性通过在法向量场泛函上应用隐函数定理得以保证，该泛函的导数在ε-邻近于一个扭曲Dirac算子。
• 本文猜想：任何在C₀ ∪ C_t上边界且体积很小的瞬子，必源于此极限构造，暗示瞬子可能存在某种ε-正则性结果。